圆柱容锥、容球与牟合方盖-----阿基米德与祖冲之父子
阿基米德的贡献在于几何学和物理学，而祖冲之父子则是得到圆周率相对精确数值和发现球体积公式，把他们拿在一起相提并论，还是很有一些意义的。
祖冲之父子的年代并没有阿基米德早，是南北朝时代人，晚出生了六百多年，然而这丝毫不影响他们的伟大，因为科学家的贡献是没有可比性的，他们的发现方向还有方法是不同的。
他们都独立得出了球体积公式，然而方法还是大不一样的，由此也可以顺道对比一下东西方科技发展的脉络，有哪些不同，以及如何造成了后世越来越大的社会文化差异。
相比起来，阿基米德的方法更简洁漂亮，这里并没有贬损我们的民族科学家之意，科学没有国界，一直活在虚妄的优越之中，不承认人家的优点，反而不客观，对现实状况也不利。
事实上，中国古代以来，关于中国为什么一直人文强而理工弱，以至于近现代积贫积弱，几近灭亡，从这一小小的对比之中，也可以管中窥豹，瞅见端倪。
阿基米德的巧妙之处是用到了圆柱容球。
我们的小学数学六年级课本上，有一个与此类似的公式和证明方法，即圆柱容锥，方法是试验法，此法实际上并不严谨，是先预测结论，再试验验证，得到的结论是等底等高的圆柱体体积是圆锥体体积的三倍，或圆锥是等底等高圆柱体积的三分之一，当然这个结论在现代有严谨的微积分证明。
显然，球体积公式的推导过程，一点也不简单，甚至经历了几代人、数百年的漫长过程，直到东西方分别想到了不同的绝妙的辅助办法。
阿基米德就是借助于圆柱，想到了圆柱容球。
他证明了球体积是紧密贴合圆柱体体积2πr³的三分之二，由此也就得到现在的球体积公式，4/3πr³。
阿基米德的贡献，其实远不止这个，他还是浮力定律的发现者，而我们同时期是曹冲称象，只有定性，而没有深入挖掘出背后的自然规律-----浮力定律，奠定了流体静力学的基础。
同时，阿基米德还系统严格地证明了杠杆定律，为力学之开端。
这两条都为传统力学之肇始，传统物理学由此开始开始发展。
但阿基米德自己最得意的发现，则是圆柱容球，也就是球体积的发现过程，以致于后来让人刻到自己墓碑上。
可见，他的数学主要转化为现实的物理应用上。
祖冲之则是借助于双圆柱相交，牟合方盖，父子接力，也同样得到了球体积公式。
在前人刘徽的割圆法基础之上，祖冲之达到了圆周率的小数点后七位小数，祖暅则是在父亲的影响熏陶下，用牟合方盖的办法得到了同样的球体积公式。
牟合方盖则是十字交叉的双圆柱相交容纳最大球体，这当然比一个圆柱容球更为复杂，却可以得到球体积公式的严格几何证明，这种理想化的证明方法，也成为了后来许多数学和物理学经典方法。
而且更为有价值的是，祖暅由此得到了祖暅原理-----几何体体积计算的最重要定理，甚至也可以类比到二维平面面积的计算，如平行四边形、梯形、三角形面积公式的推导。
东西方两个相似方向的科学家，社会境况不同，后世名声和待遇竟然如此不同。
个人感觉，在求球体积这一问题上，阿基米德的办法更简洁，高效，现代更可以拿出漂亮的几何证明，即半圆柱体体积等于内部半球体积与等底等高圆锥体积之和，从而无需用到相对复杂的牟合方盖。
附：
关键词：牟合方盖，祖暅原理，圆柱容锥，圆柱容球，立方容球
（阿基米德在生前曾经发现一个有趣的现象，将一个球放入圆柱内，这个球在圆柱里要顶天立地，四处碰边，这个球的体积是圆柱的2/3，表面积也是2/3）。
平行四边形、梯形摆动与面积不变原理
堆叠硬币、扭动的蛇与体积守恒原理
思考题：
试证明半方容半球之差为锥
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