前言
在那，有一个神秘的世界。一个美丽而优雅的隐蔽的平行宇宙，错综复杂地缠绕着我们生活的点点滴滴。这就是数学的世界。但对我们之中的大多数人而言，它却视而不见。而本书就是一张请帖，带领大家去探索这个数学的世界。
看看这个矛盾的地方：一方面，数学编织着我们生活中的一针一线中。每次我们在线上购物，发条短信，在互联网上搜索，或者使用GPS设备，都会用到数学公式和算法。而另一方面，大多数人却对数学心有余悸，汉斯·马格努斯·恩岑斯贝格尔(Hans Magnus Enzensberger德国诗人和作家)曾说过，数学已经成为了“我们文化中的一个盲点——仿佛身处异国他乡，只有少数的精英才有能力挖掘的宝藏”，这种情况很少见，他继续说：“我们遇见了一个人，他激烈的警告说‘读一本小说，看一幅图画，或者看一场电影，仅仅想想这些就会让他有一种无法忍受的煎熬’，但明智的，受过良好教育的人也经常用蔑视与骄傲的认为‘数学是纯粹的折磨和噩梦，也对数学不闻不问’”。
怎么可能这么异常？我认为有两个主要的原因。首先，数学相比其他领域更抽象，因此不太容易入门。其次，我们在学校所学到的数学，大部分都是上千年前就创建好的的，只是数学全貌的很小的一部分。数学从那时起已经有了突飞猛进的发展，但现代数学中的宝藏仍未被我们所了解。
如果在学校的美术课里，老师只教给你如何画一个篱笆，那会如何？如果你从未领略过达芬奇和毕加索的作品，你又会如何？你还会对艺术有所感触吗？还会想要更多的了解它吗？我深表怀疑。你更可能是这样的看法：“学习美术就是在浪费时间。如果我想对篱笆上色，雇人来做就可以了。”当然，这听起来可笑，但这正是数学教育的现状，在多数人的眼里，学习数学就如同在无聊的看篱笆上的颜料变干。当大师的作品被人们所熟识时，数学的瑰丽却仍然被尘封。
但是，数学中迷人的那种美不仅仅只在审美角度。伽利略的名言“数学就是大自然法则的语言”。数学描述现实，并揭示其运转的方式，是宇宙的语言，是真理的金科玉律。在我们的世界里，在科学技术的日益增长的驱动下，数学渐渐成为力量，财富和进步的源泉。因此那些精通数学的人将会站在高科技的风头浪尖处。
人们对数学常见的一个误会就是数学只是一个工具而已：一位生物学家说，数学可以在一些领域发挥作用，收集数据，尝试着建立一个数学模型来匹配这些数据（或许，借助某个数学家的帮助）。如果这是流程中非常重要的一个模块，数学可能会带来更多价值：它能够带来开创性的，思维方式上的跳跃，而没有数学，我们对此一筹莫展。举个例子，当爱因斯坦明白了重力引起了空间弯曲时，他不会试图用任何数据去吻合公式。实际上，当时也没有任何数据可以用来验证。在那个时候，没人能够凭空想象出我们的空间其实是弯曲；曾经所有的人都认为世界是平的！爱因斯坦明白能够归纳他的狭义相对论的唯一方式是非惯性的系统，同时他的洞察力也告诉自己，重力和加速度也具有相同的非惯性的作用。这就是在数学领域的高级别智力练习，在这里，爱因斯坦依靠数学家的身份来展开研究。Bernhard Riemann,早在五十年前就已经发现，人类的大脑困扰于某种因素，这就是无法设想超过两个维度的空间弯曲的情景；我们只能借助数学来理解它。你猜结果如何，爱因斯坦的结论是正确的——我们的宇宙是弯曲的，甚至还在扩展。这就是我现在所说的数学的力量。
类似的例子可能会找到很多，而且不仅仅是在物理学中，还存在于科学的其他领域中（我们会在下面的部分讨论其中的一些）。历史告诉我们科学和技术都是借助于数学的思想，以加速度的方式来进行转变；即使刚开始数学理论只是一些抽象的，难懂的设想，最后在应用中也会变得必不可少。达尔文在早起的工作中也并不指望数学，后来在他的自传中写到：“没有足够深入的，至少能了解那些重要的，指导性的数学法则，对此我深感惭愧。那些对数学有天赋的人们往往具备一种额外的感应。”我经常用这句话作为先见之明的忠告送给下一代，突出数学巨大的潜能。
当我还是孩子的时候，我并没有意识到这个隐藏的数学世界。像多数人一样，我认为数学史一门陈旧的，无聊的学科。但是我很幸运：在我高中的后几年，我遇到了一位数学教授，他为我打开了数学这个魔幻的世界。我认识到数学具有无限的可能，同时也集优雅和美丽与一身，就像诗歌，艺术还有音乐。从此我爱上了数学。
亲爱的读者，通过这本书，我希望对你有所帮助，就如我的老师和导师对我所做的那样，解开数学的力量与美，让你和我一样进入这梦幻的世界，即使你属于那种，永远不会想到将数学和美联系在一起，并脱口而出的人。数学将会抵达到你的肌肤里面，如同它蕴藏在我的身体里那样，而你的世界观将会不同。
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数学的知识不像其他的学科。我们对物理世界的感知可能会更新时，但我们对数学真理的感知永远不会改变，它们是客观存在的，持续的，绝对的真理。一个数学的公式或定理放之四海而皆准——无分性别，宗教和肤色，无论是亘古还是当代，对任何人的价值都是一样的。而且更惊讶的是我们每一个人都拥有它们的全部。没人可以对一个数学公式申请专利，它归全人类所共享。这个世界上没有一件这样的东西，如此的深邃而精致，同时又轻而易举的对所有人可用。很难相信会存在如此的知识库。它是那么的宝贵，而不能只被开始的几个人所独占。它属于全人类。
数学的核心功能之一就是信息的规则。这也是区分梵高的画作和一堆乱涂乱画的准则。随着3D打印的问世，我们所熟悉的现实生活正经历一场极具的变化：所有的事物都在由物体的层面移植到信息和数据的层面。不久的未来，如同我们现在能够轻易的将PDF文件打印成一本书，MP3文件转变成一首歌曲一样，我们也能够按照指令将信息转化为实物。在这个全新的世界，数学的作用变的更为核心，因为组织和规范信息的方式，将信息便利的转化为物理现实，（这都依赖于数学）。
本书中，我将描述一个在最近的50年里，众多数学奇思妙想中的一个:，数学大统一理论，也就是Longlands项目。这是一个让人着迷的理论，企图将数学的所有不同的领域编制成一个网络，这些不同的领域，初看仿佛八杆子打不着边：代数，集合，数论，分析以及量子物理学。但将这些领域假想成是隐藏在数学王国中的各个大陆，那Longlands项目就是终极的传送门，能够将我们瞬间从一个大陆传送到另一个大陆并能够返回。
60年代的普林斯顿大学高等研究所，数学家Robert Langlands开启了这个项目，他的办公室，正是当年爱因斯坦的办公室。Langlands以开创性的数学的对称理论作为基础。而这一基石是200年前的一位法国数学奇才所提出，而不久之后他就因为决斗而被杀死，年仅20.后来又有很多惊人的发现，他的理论得到了扩充，不仅领导证实了费马定理，也让我们对数，方程式的有了革命性的思考。诚然，另一个所觊觎的则是数学本身的罗塞塔石碑（传说中所有文字都起源于此起源），而各种数学分支则是数学本质各种变幻莫测的类比和比喻。遵循这些分析方法，如同行走在赋予了数学魔法的土地上的小溪，而Langlands项目的主意就是能够涌入到几何和量子力学的领域，在看似混乱中创建出秩序和和谐。
我想把关于数学的方方面面，平时我们很少见的都告诉你：深邃而振奋人心的思想，惊叹的发现。数学是打破传统阻碍的一种方式，在追寻真理中没有拘束的想象的一种表达方式。康托尔，无限集合的创造者，写到：“数学的本质蕴藏在它的自由中”。数学交给我们严格的分析现实，研究事实，无论他们指向何方我们都去追随。它使得我们从教条和偏见中解脱，为创新的能力提供养分。因此数学所提供的工具，已经超越了事物的本身。
这些工具可以被用在好或坏的地方，驱使我们评估数学的真实世界作用。比如，全球化的经济危机在很大程度上都是由于在财政市场中广泛使用不充分的数学模型所导致。多数的决策制定者因为自数学水平的局限，并不能完全的理解这些模型，但却在贪婪的驱使下，自大的肆意使用这些数学模型，直到这种方式几乎破坏了整个系统。他们不公平的利用不对称优势来获取信息，同时也希望没人会要求他们摊牌，因为也没有人会倾向于质问他们：数学模型是如何工作的。或许，如果有更多的人能够理解这些模型的功能，系统如何真正的运转的话，我们就不会被愚弄如此之久。
再看看另一个例子：在1996年，一个有美国政府任命的委员会秘密的归并修改了一个公式，该公式用来标示消费者价格索引，计算通货膨胀从而决定税收等级，社会安全，医疗以及其他指标的支付。上千万的美国人都受到其影响，但对新公式和其结果却只有很少的公众会去讨论。而最近，还有人试图探索这个神秘的公式，认为这个公式是美国经济的后门。
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数学和艺术，文学以及音乐一样都是我们文化遗产的一部分。作为人类，我们需要保持发现新事物的饥渴感，收获新的意义，更好的理解这个宇宙和我们居住的地方。我们也不可能像哥伦布发现新大陆，或者成为第一个在月球上留下脚印的人。但如果我告诉你，你并不需要穿过海洋，不需要穿越空间，就可以发现一个未知的世界，这会怎样？他们就在你的身边，夹杂在我们当前的现实之中。某种意义上就在我们体内。数学指引着宇宙的流向，潜伏在它的形状和曲线中，不管小到原子还是大到恒星，都把握着他们的命脉。
这本书就是来自这个丰富的，奇异世界的请帖。这本书的读者并不需要任何的数学背景。如果你认为数学很难而难于领悟，如果你对数学心存惶恐，但同时又充满好奇，数学中是否有什么值得你去了解的话，这本书就适合你去阅读。
通常有一个谬论，只有学了多年数学以后，你才会感激它。甚至有些人认为多数人在学习数学中存在一种先天的缺陷。我不同意：我们中的多数都听说过，或者最少对一些基本概念有所了解，比如我们的太阳系，原子和基本的粒子，DNA的双螺旋结构甚至更多，而对他们的了解，并不需要上物理或生物课。这些常见的概念作为我们文化和集体意识形态的一部分而熟知，没人会对此表示惊讶。同样，如果用正确的方式来解释数学，人人都可以抓住数学的关键概念和思路。做到这点，并不需要花费多年来钻研数学，在很多情况下，我们可以直接切入重点，除去其中冗余的步骤。
而问题在于：当这个世界多数情况下都在讨论星球、原子和DNA的时候，很少会有人会告诉你现代数学中的那些迷人的思想，比如对称集合，在新型数控系统中2加2并不总等于4，黎曼曲面中美妙的几何形状。现实中我们只是在照猫画虎的介绍他们。但实际上，相对猫，老虎是一个完全不一样的动物。我会让你全方面的领略它的壮丽，而你，则如同William Blake充满说服力的言辞那样，领会到这敬畏的对称。
并不要会错了我的意思：阅读这本书本身并不会让你成为一个数学家。我并不鼓吹人人都应该是一名数学家。不妨以这样的心态来对待：学会了一小部分的旋律可以保证你能够用吉他弹奏几首小曲，但并不会让你成为世界上最好的吉他手，但这可以丰富你的人生。在这本书里，我会给你揭示那些隐蔽在你身边的现代数学的旋律。我保证会丰富你的人生。
我的老师之一，伟大的Israel Gelfand曾经说过：“人们认为自己不懂数学，但这完全取决于你怎么揭示给他们。如果你问一个酒鬼，2/3和3/5哪一个更大，他无法告诉你答案。但如果你换一个方式来问这个问题，2瓶伏特加分给3个人，或者3瓶伏特加分给5个人，哪一个更好一些的，他会直接告诉你：当然是前者”。
我的目的就是以你能理解的方式来解释这些内容，从而让你能够理解。
我也会告诉你一些我在前苏联成长的经历，在那里，面对专制制度，数学也成为了自由的警戒区。因为苏联的歧视政策，我被否决进入莫斯科国立大学。这扇大门在我面前关闭了。我被驱逐出去了。但我并没有放弃，我可以私下去大学参加这些课程和研讨会，可以自己阅读数学书记，有些时候直到深夜。最后，能够撬动这个体制。他们没有让我从前门进入，但我可以从窗户上溜进来。毕竟如果你真的遇到真爱，有谁可以阻挡你呢？
两个伟大的数学家把我带进他们的羽翼下，并成为了我的导师。在他们的指引下，我开始进行数学研究。那时我仍然是一个院校学生，但我已经在开拓那些未知的边疆。这是我人生中最得以的时候，即使我确切的明白，在苏联这种大的政策环境下，绝不允许我作为数学家得到一份工作的，我也一无反顾。
但总有一个意外等待你的发现：我的第一篇数学论文私下流传到国外并被熟知，在我21岁的时候收到了哈佛大学作为访问教授的邀请。更不可思的是，就在那个时刻，苏联的改革拉开的铁幕，市民被允许出国旅行。因此，作为没有博士学位的哈佛教授的我，又一次撬动了这个体制。我继续着我的学术之旅，这也指引我研究了Langlands项目的序幕，使得我在接下来的20年中，能够参与其中主要的进展中。接下来，我将会描述这些杰出的科学家所拥有的绝伦成果，以及这些成果背后的故事。
这也是一本关于爱的书。曾经，我有一个意愿，作为衣蛾数学家去发现爱的公式，这也是《爱的仪式和数学》这部电影的前因，这部分我会在本书中介绍。当我展示这部电影时，总会有人问我：爱的公式是否真的存在？
我的回答是：“我们所创建的每一个公式都是充满爱的公式”。数学是永恒的，深刻知识的源泉，直入万物之心，跨越文化，大地以及世纪的局限而将我们结合在一起。我的梦想就是我们所有人都能够领悟，感激并惊叹于这些思想，公式和等式中魔幻般的美以及优雅的和谐，而我们对这个世界以及彼此的爱，因为它而更有意义。
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