11.1 八皇后问题
八皇后问题是以国际象棋为背景的问题：有八个皇后（可以当成八个棋子），如何在 88 的棋盘中放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一条横线、纵线或者斜线上。八皇后问题是以国际象棋为背景的问题：有八个皇后（可以当成八个棋子），如何在 88 的棋盘中放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一条横线、纵线或者斜线上。
八皇后问题示例（#代表皇后）.png
11.2 回溯法
回溯法，又被称为“试探法”。解决问题时，每进行一步，都是抱着试试看的态度，如果发现当前选择并不是最好的，或者这么走下去肯定达不到目标，立刻做回退操作重新选择。这种走不通就回退再走的方法就是回溯法。
例如，在解决列举集合 {1,2,3} 中所有子集的问题中，就可以使用回溯法。从集合的开头元素开始，对每个元素都有两种选择：取还是舍。当确定了一个元素的取舍之后，再进行下一个元素，直到集合最后一个元素。其中的每个操作都可以看作是一次尝试，每次尝试都可以得出一个结果。将得到的结果综合起来，就是集合的所有子集。
#include <stdio.h>
//设置一个数组，数组的下标表示集合中的元素，所以数组只用下标为1，2，3的空间
int set[5];
//i代表数组下标，n表示集合中最大的元素值
void PowerSet(int i,int n){
//当i>n时，说明集合中所有的元素都做了选择，开始判断
if (i>n) {
for (int j=1; j<=n; j++) {
//如果树组中存放的是 1，说明在当初尝试时，选择取该元素，即对应的数组下标，所以，可以输出
if (set[j]==1) {
printf("%d ",j);
}
}
printf("\n");
}else{
//如果选择要该元素，对应的数组单元中赋值为1；反之，赋值为0。然后继续向下探索
set[i]=1;PowerSet(i+1, n);
set[i]=0;PowerSet(i+1, n);
}
}
int main() {
int n=3;
for (int i=0; i<5; i++) {
set[i]=0;
}
PowerSet(1, n);
return 0;
}
11.3 回溯VS递归
很多人认为回溯和递归是一样的，其实不然。在回溯法中可以看到有递归的身影，但是两者是有区别的。
回溯法从问题本身出发，寻找可能实现的所有情况。和穷举法的思想相近，不同在于穷举法是将所有的情况都列举出来以后再一一筛选，而回溯法在列举过程如果发现当前情况根本不可能存在，就停止后续的所有工作，返回上一步进行新的尝试。
递归是从问题的结果出发，例如求 n！，要想知道 n！的结果，就需要知道 n(n-1)! 的结果，而要想知道 (n-1)! 结果，就需要提前知道 (n-1)(n-2)!。这样不断地向自己提问，不断地调用自己的思想就是递归。
回溯和递归唯一的联系就是，回溯法可以用递归思想实现。
11.4 回溯法与树的遍历
使用回溯法解决问题的过程，实际上是建立一棵“状态树”的过程。例如，在解决列举集合{1,2,3}所有子集的问题中，对于每个元素，都有两种状态，取还是舍，所以构建的状态树为：
图1 状态树.png
回溯法的求解过程实质上是先序遍历“状态树”的过程。树中每一个叶子结点，都有可能是问题的答案。图 1 中的状态树是满二叉树，得到的叶子结点全部都是问题的解。
在某些情况下，回溯法解决问题的过程中创建的状态树并不都是满二叉树，因为在试探的过程中，有时会发现此种情况下，再往下进行没有意义，所以会放弃这条死路，回溯到上一步。在树中的体现，就是在树的最后一层不是满的，即不是满二叉树，需要自己判断哪些叶子结点代表的是正确的结果。
11.5 回溯法解决八皇后问题
八皇后问题是使用回溯法解决的典型案例。算法的解决思路是：
- 从棋盘的第一行开始，从第一个位置开始，依次判断当前位置是否能够放置皇后，判断的依据为：同该行之前的所有行中皇后的所在位置进行比较，如果在同一列，或者在同一条斜线上（斜线有两条，为正方形的两个对角线），都不符合要求，继续检验后序的位置。
- 如果该行所有位置都不符合要求，则回溯到前一行，改变皇后的位置，继续试探。
- 如果试探到最后一行，所有皇后摆放完毕，则直接打印出 8*8 的棋盘。最后一定要记得将棋盘恢复原样，避免影响下一次摆放。
实现代码：
#include <stdio.h>
int Queenes[8]={0},Counts=0;
int Check(int line,int list){
//遍历该行之前的所有行
int index;
for (index=0; index<line; index++) {
//挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标
int data=Queenes[index];
//如果在同一列，该位置不能放
if (list==data) {
return 0;
}
//如果当前位置的斜上方有皇后，在一条斜线上，也不行
if ((index+data)==(line+list)) {
return 0;
}
//如果当前位置的斜下方有皇后，在一条斜线上，也不行
if ((index-data)==(line-list)) {
return 0;
}
}
//如果以上情况都不是，当前位置就可以放皇后
return 1;
}
//输出语句
void print()
{
int line;
for (line = 0; line < 8; line++)
{
int list;
for (list = 0; list < Queenes[line]; list++)
printf("0");
printf("#");
for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++){
printf("0");
}
printf("\n");
}
printf("================\n");
}
void eight_queen(int line){
//在数组中为0-7列
int list;
for (list=0; list<8; list++) {
//对于固定的行列，检查是否和之前的皇后位置冲突
if (Check(line, list)) {
//不冲突，以行为下标的数组位置记录列数
Queenes[line]=list;
//如果最后一样也不冲突，证明为一个正确的摆法
if (line==7) {
//统计摆法的Counts加1
Counts++;
//输出这个摆法
print();
//每次成功，都要将数组重归为0
Queenes[line]=0;
return;
}
//继续判断下一样皇后的摆法，递归
eight_queen(line+1);
//不管成功失败，该位置都要重新归0，以便重复使用。
Queenes[line]=0;
}
}
}
int main() {
//调用回溯函数，参数0表示从棋盘的第一行开始判断
eight_queen(0);
printf("摆放的方式有%d种",Counts);
return 0;
}
由于排列太多运行结果没法全部截取，这里只取部分显示。
运行结果.png
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