习题 10-1

作者: Lupinus_Linn | 来源:发表于2019-02-27 23:34 被阅读0次

2.用级数敛散定义判定下列级数的敛散性，如果收敛，试写出级数之和。
（1） $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {ln\frac{n+1}{n}}$
发散
= $\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}ln(\frac{2}{1}\times\frac{3}{2}\times\dots\times\frac{n+1}{n})$
= $\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}ln(n+1)\to\infty$

（2） $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}$
收敛
= $\frac{1}{2}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})}$
= $\frac{1}{2}\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\frac{1}{1\times2}-\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{2\times3}-\frac{1}{3\times4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
= $\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}$
= $\frac{1}{2}$

（3） $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {(\sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
收敛
观察知，位于Sn中间的项均会消掉，因为其会出现三次
$\dots\sqrt{i+2}-2\sqrt{i+1}+\sqrt{i} \\ +\sqrt{i+3}-2\sqrt{i+2}+\sqrt{i+1} \\ \sqrt{i+4}-2\sqrt{i+3}+\sqrt{i+1}+\dots$
这里 $\sqrt{i+1}被消掉了$ ，所以只需要考虑两端
原式= $\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}1-\sqrt{2}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$
其中 $\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$ = $\displaystyle \lim_{{n} \to {\infty}}\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}=0$
所以原式= $1-\sqrt{2}$

习题 10-1

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