19.帕普斯定理

帕普斯定理

A,B,C三点在一直线上顺序排列，D,E,F三点在另一直线上顺序排列，直线BD与CE相交于L点，直线AD与CF相交于X点，直线BF与AE相交于R点，则，L，X，R三点共线。

证明：
设AB与DE两直线相交，设该交点为O,以为OA为横轴，OF为纵轴，建立斜坐标系。设A,B,C三点坐标分别为(1/a 0) ，(1/b 0)，(1/c 0)，设D,E,F三点坐标分别为(0 1/d)，(0 1/e)，( 0 1/f)。

则，直线BD的方程为：
BD: bx+dy=1

直线CE的方程为：
CE: cx+ey=1

联立方程，得BD,CE两直线交点齐次坐标为：
L (e-d, b-c, be-cd)

同理，AD,CF两直线交点其次坐标为：
X (f-d, a-c, af-cd)

AE,BF交点其次坐标为：
R (f-e, a-b, af-be)

因为 L + R = X,
所以 L,R,X 三点共线。

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