平衡二叉树又称AVL树
性质：
它或者是颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：
- 它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。
- 若将二叉树节点的平衡因子BF定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有节点的平衡因子只可能为-1,0,1.
- 只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，那么这颗平衡二叉树就失去了平衡。
a:平衡二叉树 b:不平衡二叉树
为什么需要平衡二叉树？
一种极端的情况：二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5，也就是：
退化成链表
查找一个节点的时间复杂度是O（n）。
为了避免这种情况的发生，我们希望可以有一种算法，将我们的不平衡的二叉排序树转化为平衡二叉排序树（AVL树的查找平均复杂度是O（log(n)））这样就可以让我们的二叉排序树结构最优化。
平衡二叉树的算法
看到上述例子，我们就慢慢有点感觉了，至少知道了为什么会需要平衡二叉树，接下来我们看一下平衡二叉树是怎样将我们不平衡的树转换为平衡二叉树。
如何时构成的二叉排序树编程平衡二叉树呢？先看一个具体的例子
平衡二叉树过程
- 图a 一颗空树也算是平衡二叉树
- 图b 只有一个结点13的树也算是平衡二叉树
- 图c 在图b的基础上插入新的结点24之后，仍然是平衡二叉树，只是根结点的平衡因子从0变到了-1（左子树的深度为0减去右子树的深度1等于-1）
- 图d 在图c的基础上再插入一个结点37，这个时候整棵树出现了不平衡现象，根结点13的平衡因子从-1变成了-2。我们想要让这课树平衡，而且要保证该树二叉排序树的性质，那么我们只要将根结点13换为24，结点13作为结点24的左子树，这棵树就又会回到平衡状态。
- 图e。我们把这种对树做向左逆时针“旋转”的操作称为单向左旋平衡处理。左旋之后，我们发现13、24、37结点的平衡因子都变为0。而且仍然保持着二叉排序树的特性
- 图f当我们继续插入结点90之后，二叉树仍然平衡，只是24、37两个结点的平衡因子变为了-1，再次插入53结点之后，结点37的平衡因子BF由-1变为-2，这意味着该排序树中出现了新的不平衡现象，需要进行调整。但此时由于结点53插在结点90的左子树上，因此不能如上面一样作简单的调整。对于以上结点37为根的子树来说，既要保持二叉排序树的特性，又要平衡，则必须以53结点作为根结点，而使37结点成为它左子树的根，90结点称为它右子树的根。这就好比做了两次旋转，首先我们让37、53、90这棵树单先向右顺时针转变成图g，再像左逆时针变成图h，这样我们的二叉树就能够再次回到平衡状态。对于以上旋转操作我们称为双向旋转（先右后左）平衡处理
平衡算法总结
看完了上面的例子，我们总结一下二叉排序树的不平衡情况以及如何将其转化为平衡情况。
一般情况下，假设由于在二叉排序树上插入结点而失去平衡的最小子树根结点的指针为a（即a是离插入结点最近，且平衡因子绝对值不超过1的祖先结点），则失去平衡后进行调整的规律可以归纳为一下4种情况：
1、单向右旋平衡处理：由于在a的左子树根结点的左子树上插入结点，a的平衡因子由1增加到2，致使以a为根结点的子树失去平衡，则需要进行一次右向顺时针旋转操作。简称LL型旋转
左左型
2、单向左旋平衡处理：由于在a的右子树根结点的右子树上插入结点，a的平衡因子由-1增加到-2，致使以a为根结点的子树失去平衡，则需要进行一次左向逆时针旋转操作。简称RR型旋转
右右型
3、双向旋转（先左后右）平衡处理：由于在a的左子树的根结点的右子树上插入结点，a的平衡因子由1增加到2，致使a为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转（先左旋后右旋）操作。简称LR型旋转
左右型
4、双向旋转（先右后左）平衡处理：由于在a的右子树的根结点的左子树上插入结点，a的平衡因子由1增加到2，致使a为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转（先右旋后左旋）操作。简称RL型旋转 (上图F)
右左型
总结图
image
左旋右旋
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode /* 结点结构 */
{
int data; /* 结点数据 */
int bf; /* 结点的平衡因子 */
struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;
/* 对以p为根的二叉排序树作右旋处理， */
/* 处理之后p指向新的树根结点，即旋转处理之前的左子树的根结点 */
void R_Rotate(BiTree *P)
{
BiTree L;
L = (*P)->lchild; /* L指向P的左子树根结点 */
(*P)->lchild = L->rchild; /* L的右子树挂接为P的左子树 */
L->rchild = (*P);
*P = L; /* P指向新的根结点 */
}
/* 对以P为根的二叉排序树作左旋处理， */
/* 处理之后P指向新的树根结点，即旋转处理之前的右子树的根结点0 */
void L_Rotate(BiTree *P)
{
BiTree R;
R = (*P)->rchild; /* R指向P的右子树根结点 */
(*P)->rchild = R->lchild; /* R的左子树挂接为P的右子树 */
R->lchild = (*P);
*P = R; /* P指向新的根结点 */
}
#define LH + 1 /* 左高 */
#define EH 0 /* 等高 */
#define RH - 1 /* 右高 */
/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理 */
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void LeftBalance(BiTree *T)
{
BiTree L, Lr;
L = (*T)->lchild; /* L指向T的左子树根结点 */
switch (L->bf)
{ /* 检查T的左子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
case LH: /* 新结点插入在T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 */
(*T)->bf = L->bf = EH;
R_Rotate(T);
break;
case RH: /* 新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 */
Lr = L->rchild; /* Lr指向T的左孩子的右子树根 */
switch (Lr->bf)
{ /* 修改T及其左孩子的平衡因子 */
case LH: (*T)->bf = RH;
L->bf = EH;
break;
case EH: (*T)->bf = L->bf = EH;
break;
case RH: (*T)->bf = EH;
L->bf = LH;
break;
}
Lr->bf = EH;
L_Rotate(&(*T)->lchild); /* 对T的左子树作左旋平衡处理 */
R_Rotate(T); /* 对T作右旋平衡处理 */
}
}
/* 对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
/* 本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void RightBalance(BiTree *T)
{
BiTree R, Rl;
R = (*T)->rchild; /* R指向T的右子树根结点 */
switch (R->bf)
{ /* 检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
case RH: /* 新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
(*T)->bf = R->bf = EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH: /* 新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
Rl = R->lchild; /* Rl指向T的右孩子的左子树根 */
switch (Rl->bf)
{ /* 修改T及其右孩子的平衡因子 */
case RH: (*T)->bf = LH;
R->bf = EH;
break;
case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;
break;
case LH: (*T)->bf = EH;
R->bf = RH;
break;
}
Rl->bf = EH;
R_Rotate(&(*T)->rchild); /* 对T的右子树作右旋平衡处理 */
L_Rotate(T); /* 对T作左旋平衡处理 */
}
}
/* 若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
/* 数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
/* 失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller)
{
if (!*T)
{ /* 插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
(*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;
*taller = TRUE;
}
else
{
if (e == (*T)->data)
{ /* 树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
*taller = FALSE; return FALSE;
}
if (e < (*T)->data)
{ /* 应继续在T的左子树中进行搜索 */
if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /* 未插入 */
return FALSE;
if (*taller) /* 已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
switch ((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */
{
case LH: /* 原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
LeftBalance(T); *taller = FALSE; break;
case EH: /* 原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
(*T)->bf = LH; *taller = TRUE; break;
case RH: /* 原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;
}
}
else
{ /* 应继续在T的右子树中进行搜索 */
if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /* 未插入 */
return FALSE;
if (*taller) /* 已插入到T的右子树且右子树“长高” */
switch ((*T)->bf) /* 检查T的平衡度 */
{
case LH: /* 原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
(*T)->bf = EH; *taller = FALSE; break;
case EH: /* 原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高 */
(*T)->bf = RH; *taller = TRUE; break;
case RH: /* 原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
RightBalance(T); *taller = FALSE; break;
}
}
}
return TRUE;
}
int main(void)
{
int i;
int a[10] = { 3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8 };
BiTree T = NULL;
Status taller;
for (i = 0; i < 10; i++)
{
InsertAVL(&T, a[i], &taller);
}
printf("本样例建议断点跟踪查看平衡二叉树结构");
return 0;
}
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