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彩票中的数学期望

彩票中的数学期望

作者: 战神猴哥 | 来源:发表于2019-08-10 12:23 被阅读18次

    前段时间读了一本书《数学之美》,看完后对这本书赞叹不已。翻译,搜索,语音识别等等看起来高大上的计算机科学,背后离不开数学的支持。而这些数学知识并没有想象中那么复杂,反而通俗易懂。

    不过要想读懂这本书,一些数学的基础知识还是要思路清晰的。其中涉及最多的知识是概率论。所以我想用几篇文章梳理一下概率论的知识。

    为了更好的表述,我们以生活中的彩票为例,探究一下彩票中的数学知识。

    先看一个简单的小例子:

    商场同时举办两场抽奖活动,两场抽奖的中奖率都是30%,第一场奖金500元,第二场奖金1000元,只能参加一场活动,请问如何参加?

    这个问题,傻子都知道,会去第二场(中奖率一样,肯定去钱多的啊)。

    那,如果第一场的中奖率是50%呢?

    这个问题就有些复杂了,一个是几率收益,一个是几率收益,没办法直接比较。这时候,数学中有一个非常实用的概念,可以帮助我们决策,它就是数学期望

    数学期望是一个反映“均值”的概念,以第一场活动为例,50%的几率得到500元,50%的几率什么也得不到。我们实际上需要知道的是平均玩一场可以得到多少钱。

    既然是平均,我们可以假设玩了N场游戏,用总钱数除以N,就可以知道平均每场得多少钱了。

    根据概率可知,大约有0.5N场游戏得了500元,0.5N场游戏不得钱,总计0.5N * 500 = 250N(元), 除以游戏场次N,平均每一局的收益为250N \div N = 250(元)

    我们发现在计算过程中,游戏的场次N被约掉了,并没有发挥作用。那是不是有更简单的计算方法呢。这就是我们要说的数学期望公式。
    E = \sum x_{i} * p(x_{i})
    等式左边的E是我们要求的数学期望,他反映了一个独立随机事件在大量试验下的平均值。右边是个求和公式,每一项都是该事件的数值乘以该事件的概率
    上面的问题用数学期望公式可以写成:
    E = 0.5 *500 + 0.5 * 0 = 250(元)
    和前面的结果完全一样。因为我们要计算的是收益的数学期望,所以公式中的数值就是收益。 其他场景,这个数值就不一定是收益了。比如我们想计算运动消耗能量的数学期望,就要把卡路里带入到公式中了。


    接下来,我们进入正题,聊一聊彩票。
    全世界都有不少彩迷朋友,或为了消遣,或为了赚钱,热衷于购买彩票。这些人群中,也出现了所谓的“专家”,提出了一些选彩理论,只要你搜索一下,就能看到这些专家提出的各种“学术用语”,冷号,热号,大号,小号,连号,倍投,守号,令人应接不暇。

    要是信了他们,就完蛋了。所有宣传彩票技巧的,100%都是骗子

    这个道理很简单,每一次开奖都是独立事件。何为独立事件,就是说,每一次事件都和之前的事件毫无关联。这个道理想想就明白。摇奖的机器又没有记忆力,怎么可能参考之前的结果呢。

    独立事件听起来很好理解,但是在生活中很多人都会犯错,比如一枚硬币连续9次抛掷都是正面朝上,有人会认为第10次反面朝上的概率大。这其实是不正确的, 第十次反面朝上的概率依然是50%。

    Tips:生活中做出判断时,一定要认清楚什么是独立事件,比如一张试卷上选择题的答案并不是独立事件。这是因为出题老师会刻意让选项分布平均,如果你连续5题选了C,第六题拿不准主意的时候,尽量不要蒙C

    回到彩票的问题,我们姑且认为彩票的摇奖机是公平公正的,那么没每次买彩票就是独立事件。 又因为彩票的规则是确定的,每次中奖事件的概率分布是一样的。那么我们就可以用数学期望公式来计算买彩票的预期收益。

    我们先假设一种彩票类型,分为5个奖项,每个奖项的金额和中奖概率用下面的表格表示:

    一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖
    中奖金额 500万 10万 3000 200 5
    中奖概率 10^{-7} 3*10^{-6} 10^{-4} 0.001 0.01

    那么小明购买一注彩票的平均收益为:
    E=5000000 * 10^{-7} + 100000 * 3*10^{-6} + 3000 * 10^{-4} + 200 * 0.001 + 5 * 0.01 = 1.35(元)
    而一注彩票的价格一般是2元,也就是说小明每买一注彩票,平均亏损0.65元。

    上面的例子其实已经算比较良心了,笔者研究过数十种不同类型的彩票,大部分的数学期望在1元左右,也就是说要抽走你一般的购彩资金。感兴趣的读者可以自行计算。

    那是不是说我们应该坚决抵制彩票呢,我觉得大可不必。这篇文章只是告诉你买可以通过数学期望来估算彩票的收益,虽然你肯定是亏的,但在这个过程中你还可以收获别的东西。比如收获一份小期待啊,比如收获和其他彩民交流的乐趣啊,从这个角度一想,亏的那点钱反而不重要了。

    但是,千万不要把它当做赚钱的手段,尤其不要相信什么彩票达人的话,如果你投入大量的资金,那就不再是小买怡情了, 亏得倾家荡产的例子比比皆是。

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