机器学习的「现代分析」基础

• 【定义 1】设 和 是距离空间, 若存在双射 , 使得
  
  则称 与 (通过 ) 等距同构, 称为等距同构映射. 若 与 的某个子空间 等距同构, 则称 可嵌入 . 在等距同构的意义下, 可将 看作 的子空间, 并简记为
  
  注意 : 从集合角度来看, 不一定是 的子集.

• 【定义 2】设 与 是赋范线性空间, 若算子 满足 , 则称 是 保范算子. 若线性算子 是双射, 则称 是 等距同构映射, 简称 同构映射. 这时称 与 等距同构, 简称 同构, 记作 .
  若存在 , 使得 与 同构, 则称 可嵌入到 中.

  若一个抽象的赋范线性空间 与一个具体的赋范线性空间 同构, 则称 是 的一个表示.
  注意 : 若将【定义 2】中的线性改为共轭线性, 即
  
  则称 与 共轭同构, 仍记作 .

• 【定义 3】设 与 是数域 上的赋范线性空间, 是 的线性子空间. 若映射 满足

  • 可加性:
  • 齐性:
    则称 是 到 的线性算子; 称 为 的定义域; 称 为 的值域; 并称
    
    为 的零空间 (或核).

• 【有界线性算子范数】设 与 是赋范线性空间, 若 为 有界线性算子, 则称
  
  为 有界线性算子范数.

• 【有界线性算子空间】设 与 是数域 上的赋范线性空间, 到 的有界线性算子全体记作 . . 规定线性运算为:
  
  易知, 是赋范线性空间, 称为 有界线性算子空间.
  特别, 当 时, 简记作 , 并称其元素为 有界线性泛函, 且 称为 的 共轭空间.

• 【定义 4】设 是数域 上的赋范线性空间, 若 , 则称 为 自共轭空间.

• 【定理 1】任何赋范线性空间 都与 的子空间保范线性同构, 在同构的意义下, 可记作 , 即
  , 定义泛函 , , 即
  
  则 ， 且 .

• 【定理 2】 维实赋范线性空间 , 有 .
  设 是 的一组基, 则 , 存在唯一的 , 使得 在 上的表示为
  
  实际上, 是由 唯一确定的. 同时, 中的泛函 的范数 则依赖于 中元素 的范数 的选取.

  重要技巧

  将原空间 的问题通过嵌入映射 转换为 中的问题, 即将 转换为 , 且 . 而线性泛函 要比抽象空间 中的元素 更容易处理.