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七年级数学上:绝对值拓展浅析

七年级数学上:绝对值拓展浅析

作者: 高图教育 | 来源:发表于2020-08-10 21:00 被阅读0次

      这两天数学已经到了绝对值的部分,初中数学的第一个小山坡来了,在这里同学们还是要下一些功夫的,否则这座小山坡还真不好爬。

    有的同学轻言放弃,认为理解不了,太难了,真的不至于。

    咱们还是先来谈谈为什么要学习绝对值的拓展。首先,可以很明确的告诉大家,咸宁中考数学24道题中,单纯出题可能性不大,但为什么还需要重点讲解呢?因为综合题经常考到.其实绝对值的拓展并不在知识点本身,而在于绝对值中的一个重要思想——分类讨论。

    首先,看一道题:

    数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_____,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是_____;

    答案依次是 3;3;4。

    大家有没有什么发现?

    5-2=3;(-2)-(-5)=3;1-(-3)=4.

          也就是说,在数轴上有两个数,我们要求这两个数之间的距离,我们只需用较大的数减去较小的数即可——数轴上用减法求距离。

          那么我们来看绝对值,绝对值的定义:在数轴上,一个数对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值定义的落脚点是距离,也就是说|x|表示数轴上一个数x与原点的距离,这个都可以理解,那么同学们结合上面的结论,思考一下|x-1|又表示什么呢?

    |x-1|表示数轴上一个数x对应的点与1之间的距离。

        我们都知道|x|是有最小值的,当x=0时,|x|取最小值0,但是没有最大值;那么问题就来了,|x-1|是否有最小值?是否有最大值?同学们思考一下~

    |x-1|有最小值,当x=1时,|x-1|的最小值为0;同样的,|x-1|没有最大值。

      如果这个地方可以理解,同学们就已经爬到半山腰了,我们举一反三,去思考一下|x+1|表示什么?是否有最小值?是否有最大值?

    |x+1|表示数轴上一个数x对应的点与-1的距离(表示为|x-(-1)|的形式),当x=-1时,|x+1|的最小值为0,;同样的,|x+1|没有最大值。

    到这里,就剩最后一个难点了,大家思考下|x-1|+|x+1|有没有最值(最大值或者最小值)

    |x-1|表示x到1的距离,|x+1|表示x到-1的距离;则|x-1|+|x+1|表示数轴上一点x到1与到-1的距离之和!那么x可能在的位置就如下图的三种情况:A(-1的左边)、B(-1与1之间,包括端点-1和1)或者C(1的右边)处

    当x在A处时,|x-1|+|x+1|表示两段绿色线段的长度;当x在B处时,|x-1|+|x+1|表示两段红色线段的长度;当x在C处时,|x-1|+|x+1|表示两段紫色线段的长度。

    不难发现,绿色线段会随着A点向左运动而变大。同理紫色线段会随着C点向右运动而变大。但只有红色线段不会随着B点的运动而变化,而红色线段的长度就是-1到1的距离,即2个单位长度!

          也就是说,|x-1|+|x+1|有最小值2,当且仅当-1≤x≤1时取到最小值;但|x-1|+|x+1|没有最大值。

    离山顶之差最后一步,我帮大家推开山顶之门,大家看看自己的段位:

    初出茅庐:

    求|x|的最小值。答案:0

    小试牛刀:

    求|x+2|+|x-3|的最小值。答案:5

    初露锋芒:

    求|x|+|x-2|+|x+3|的最小值。

    炉火纯青:

    求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值。

    前两个题已经讲过,大家可以试着理解一下,自行对照答案。我们来看一下第三个题:

    初露锋芒:

    求|x|+|x-2|+|x+3|的最小值。

    这个代数式的几何意义是:数轴上一点x与0、2和-3三个点的距离之和。同学们不妨自己画数轴,通过上面的讲解,看看x可能在的地方有哪些?

    x可以在上图中A(-3左边)、B(-3和0之间,包括端点-3和0)、C(0上)、D(0和2之间,包括端点0和2)或者E(2的右边)五处位置。同学们自己画一下,看看哪个位置的距离(线段)之和最小?

          当然是当x在C处和最小,也就是x=0的时候,|x|+|x-2|+|x+3|有最小值,最小值是5.

    规律如下:

    |x|的最小值:当x=0时取到,最小值为0;

    (只含有一个绝对值,该绝对值为0时,x=0,即x=0时该代数式有最小值)

    |x+2|+|x-3|的最小值:当-2≤x≤3时取到,最小值为5;

    (含有两个绝对值,这两个绝对值为0时,x有两个取值,一个-2,一个3,x位于这两个数之间时取到最小值,即-2≤x≤3时该代数式有最小值)

    |x|+|x-2|+|x+3|的最小值:当x=0时取到,最小值为5.

    (含有三个绝对值,这三个绝对值为0时,x有三个取值,一个0,一个2,一个-3,把这三个数从小到大排列:-3、0、2,x取中间这个数时取到最小值,即x=0时该代数式有最小值)

          总结如下:

    当有奇数个绝对值的时候,我们把使绝对值为0的点从小到大排列后,当x取中间那个数时,该代数式有最小值。

    那么当有偶数个绝对值的时候,同样把使绝对值为0的点从小到大排列后,当x取中间两个数之间的任何数时(包括这两个数),该代数式值有最小值。

    炉火纯青:

    求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值。

          解析:我们会在数轴从左到右上标出617个点,分别是1、2、3、···616、617,共有奇数个,那么当x取中间那个点的时候,代数式取到最小值。那么中间那个点是多少呢?是309。当x=309时,原式取到最小值。

          原式=308+307+306+···+2+1+0+1+2+3+···+308 等差数列求和,相信大家比我算的好~答案是95172,你们解对了吗?

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