在小学的时候，我们就已经初步感知过了平行线与平行线。但是，更精确的关于两者的知识，我们还要等到初中在进一步探索。既然要学习相交线与平行线，那么我们就需要对两者做一个定义。
如何定义相交呢？相交就是两条直线有一个公共点，这个公共点我们名命为：交点。而平行，就是两条直线不相交。那么，相交的直线会构成那些角呢？
如图，两条直线相交形成了4个角。其中，我们认为∠1=∠2，这是我们的猜想，而猜想是需要被
证明的。证明过程如下：
∵∠4+∠2=180°（平角定义）
又∵∠3+∠2=180°（平角定义）
∴∠2=180°-∠3
∴∠4=∠3（等量代换）
我们把这样相等的角叫做对顶角，由此我们可以得出：对顶角相等。只不过要注意，虽然说对顶角是相等的，但不是所有相等的角都是对顶角。
我们还可以发现，∠2与∠4的和是一个平角，也就是180°；∠2与∠3的和也是平角，180°.我们把这样两个相加等于180°的角，就称它们俩的关系为互补。注意，互补指的是两个角的关系。三个角相加等于180°，是不能叫做互补的。
同样我们把两个相加等于90°的角，称它们的关系为互余。
观察上图，我们发现∠2+∠3=180°，∠2+∠4=180°如果将这两个式子变形，代入的话，就会得到∠3=∠4这个结论。而我们发现，∠2与∠4都是∠2的补角，由此可以得出结论：同角的补角相等。同理，我们还可以得到：同角的余角相等。
这都是在相交线中出现的角，那交线中的线段呢？观察下图，按照直觉，我们觉得线段PF应当在所有过点P到直线a的线段中，最短的线段。至于为什么，我们初中暂时没有能力解决。不过，我们可以根据这个得到这样一个结论：垂线段最短。这个垂线段指的就是图中的线段PF.
那么，过直线外一点可以做多少与已知直线垂直的直线呢？很明显，在同一平面内，只能做一条，这是直观能感受到的。
那么，如何判定两条直线是平行的呢？或者说，我们可以如何画出平行线呢？可以通过三角尺这样画：
在这个过程之中，为了保证平行，我们需要让∠AA’C’=∠ABC
依据多个这样的实际操作，我们猜测如果这两个同位角是相等的，那么两条直线是平行的。这个结论是正确的，这是一个不证自明的结论。因为数学是一种一环扣一环的逻辑链条，这种逻辑链条推到最前边的地方，就找不到前一环了。这个最前边的一环就是不证自明的，被我们称之为公理。
我们把这个不证自明的公理成为：平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行。这两个角称之为同位角，因为它们两个都在直线a的上方，直线c的右边。通过实际操作，得到了判定平行线的第一个理论。
如图，如果∠3=∠8，a是否平行于b呢？这个是可以证明的。
∵∠3=∠2（对顶角相等）
又∵∠3=∠8（已知）
∴∠2=∠8（等量代换）
∴a∥b（平行线的判定定理1）
而我们把这样两个角称之为内错角。因为两个角都是在直线a和b之间，但是被直线c错开了。我们可以得到平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行。
我们把像∠8和∠4这样的一对角，取名为同旁内角。同旁指的是同在直线c的右侧，内角指的是在直线ab之间。而如果同旁内角互补，两直线也是平行的。证明过程如下：
∵∠4+∠8=180°（已知）
又∵∠4=180°-∠2
∴∠2=∠8（等量代换）
∴a∥b（平行线的判定定理3）
我们把这个定理成为平行线的判定定理3：同旁内角互补，两直线平行。
若a∥b，那么，∠2与∠8的数量关系是怎么样的呢？通过测量， 我们可以的出相等这一答案。这个结论同样是不证自明的。但是我们不可以想当然的认为：因为同位角相等，两直线平行。所以当两直线才平行的时候，同位角就相等。就像昆虫是动物，但是动物不一定都是昆虫一样。 ∠2=∠8就是公理。
平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等。
如果a∥b，∠3和∠8有什么数量关系呢？我们猜测是相等的，这个猜测，是需要被证明的，证明过程如下：
∵∠3=∠2（对顶角相等）
又∵a∥b（已知）
∴∠2=∠8（两直线平行，同位角相等）
∴∠3=∠8（等量代换）
于是我们可以的得到平行线的性质定理2：两直线平行，内错角相等。
∠4和∠8的数量关系是怎么样的呢？我们猜想是互补的。此猜想也可以证明，只不过这次会有两种证明方法。因为我们已经有平行线的性质定理2与平行线的性质定理1.但是这里我就只写一种证明过程了。
∵a∥b（已知）
又∵∠3=180°-∠4（平角定义）
∴∠3=∠8（两直线平行，内错角相等）
∴180°-∠4=∠8（等量代换）
∠4+∠8=180°
我们也可以得到平行线的性质定理3：两直线平行，同旁内角互补。
这里，∠1+∠2=∠3，而这也可以用平行线证明。
过点C作DC∥AB
∵AB∥DE（已知）
∴DC∥DE（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴∠DCF=∠3，∠BAC=∠1（平行线性质定理1）
∴∠3+∠1=∠DCF+∠BAC（等量代换）
∠3+∠1=∠ACF
诸如此类的可以解决的问题还有很多。其中，三角形的内角和语外交和同样也可以用平行线再次证明。
而未来，我们就要基于平行线研究更多的问题，最直接的就是平行四边形。而在这个时候，平行线就成为了我们的工具之一。
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