一、集合

1.集合的概念

具有某种特定性质的事物的总体成为集合。

组成集合的事物成为元素。

不含任何元素的集合成为空集，记作Ø。

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集合的表示法

1.列举法

2.描述法

比如整数集合Z=

有理数集Q：

其中P和Q互质（为了避免相同数值的分数）

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2.集合的包含关系（⊆ ⊂）

有集合A、B，如果x⊆A必有x⊆B，则A是B的子集。

若A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记作A=B。

例如：N（自然数集）⊆ Z（整数集）⊆ Q（有理数集）⊆ R（实数集）

也有以下关系：

（1） Ø⊆A

（2）A⊆B且B⊆C = A⊆C

并集（∪）

交集（∩）

差集（/）

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3.区间

是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。

任取a，b⊆R，且a<b.

有限区间

{x|a<x<b}称为开区间，记作(a,b)

{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]

{x|a≤x<b}/{x|a<x≤b}称为半开区间，记作[a,b)/(a,b]

无限区间

{x|x≤a} = [a,+∞]

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4.邻域

设X⊆R，a>0，点X的a邻域：

即点X的a领域为：（X-a，X+a）

a是领域的半径，领域的长度为2a

例如：2的0.1邻域

其中邻域的半径为0.2

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5.逻辑量词：

任意（∀）：

      例：对任意实数x，都存在比x更大的实数y

      ∀x∈R，ョy∈R（y>x）

存在（ョ）

      任意两个实数之间，都存在一个实数

      ∀x、y∈R（x<y）,ョZ∈R（x<z<y）

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二、映射

1.映射的概念

∀x∈X，ョ唯一的y∈Y，使得f（x）→y

则称f为x到y的一个映射

定义域（x）→对应法则（f）→值域（y）

2.满射

∀y∈Y，ョx∈X，使得f（x）=y

Y中的每一个元素都是映射f的像

3.非满射

ョy∈Y，∀X∈X，使得f（x）≠y

4.单射

∀a,b∈X，a≠b时，f（a）≠f（b）

即不同的元素有不同的像

5.非单射

ョa，b∈X，a≠b，但是f（a）=f（b）

至少存在两个不同的元素有相同的像。

6.双射

既单又满的映射成为双射，或一一映射

单射+满射=双射

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三、函数

1.函数的概念

函数是数集X到数集R的映射：

f：X → R（X⊆R）

定义域（x）→对应法则（f）→值域（y）

2.函数的图形

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3.反函数

4.反函数存在的条件

定理（反函数的存在性）：

一个函数有反函数的条件是它是一个单映射

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5.绝对值函数

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6.符号函数

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7.取整函数

取整函数的公式

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8.函数的几种特性

（1）有界性

有界性的概念 有界函数图像

（2）单调性

（3）奇偶性

（4）周期性

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9.狄利克雷函数

没有具体的表达式，也没有图形

还是没有最小正周期的周期函数（每一个有理数都是函数的周期）

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10.初等函数

10.1 基本初等函数

（1）幂函数

幂函数在其单调区间内有反函数，且幂函数的反函数仍为幂函数

（2）指数函数

（3）对数函数

（4）三角函数

奇函数 奇函数 偶函数 奇函数

（5）反三角函数

其中指数函数和对数函数互为反函数，三角和反三角函数互为反函数

10.2 初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合，并且能用一个公式表示的函数。

这个是初等函数

分段函数一般不是初等函数，因为它一般不能用一个公式表示

这个不是初等函数

绝对值函数可以看作初等函数

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11.双曲函数

和指数函数有关的函数可以称作双曲函数

也可以这么写 双曲正弦（奇函数） 双曲余弦（偶函数） 双曲正切图像（奇函数） 双曲余切函数（奇函数）

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12.反双曲函数