可能公式太长，在手机上浏览这个网页很多公式都显示不出来，在浏览器上就很正常了！

* 首先在学习贝叶斯概率前我们先弄清楚三个概率，联合概率、条件概率、边缘概率，接着再学习贝叶斯概率就很容易明白啦；

* 然后通过几个案例的学习让大家熟悉贝叶斯公式；

* 最后通过垃圾短信的判断来进行代码实战；

* 文章的最后还会附上一个可以用贝叶斯解决的脑筋急转弯问题，感兴趣的一起试试看吧！

* 相信经过这么多的例子，你一定能更好的理解贝叶斯了，那么开始吧！

1.1联合概率

场景：假设一个学校高中和初中合并在一起，只用在数学、语文、英语三门课中选择一门作为主修课，对于所有学生而言：

   · 所有学生中，事件A=选择数学，发生的概率P（A = 选择数学）

   · 所有学生中，事件A=选择数学，发生的概率P（B = 选择语文）

    ·所有学生中，事件A=选择数学，发生的概率P（C = 选择英语）

   · 所有学生中，事件B=学生属于高中阶段，发生的概率P(B=高中生)

    ·所有学生中，事件B=学生属于初中阶段，发生的概率P(B=初中生)

那么，事件A,B同时发生的联合概率P(A,B)

    ·属于高中生，并且选择了语文作为主修课程，发生的概率是P（A=选择语文，B=高中生）

---

    ·属于初中生，并且选择了数学作为主修课程，发生的概率是P（A=选择数学，B=初中生）

那么，高中主修数学的联合概率为：P(A=数学,B=高中) = ，

初中主修语文的联合概率为：P(A=语文,B=初中) = 。

1.2边缘概率 marginal probability

从联合概率按类别求和就是边缘概率，比如这个学校

·主修数学的边缘概率为：P(数学) =  =  = ，

·主修语文的边缘概率为：P(语文) =  =  = 

边缘概率的和：P(语文)+ P(数学) + P(英语) = 1；P(高中生) + P(初中生) = 1

1.3条件概率

条件概率：满足条件B的所有事件中，事件A也发生的比例

   · 分析的对象：满足条件B的所有事件

    ·P(A|B) =  = ：事件B,A同时发生的概率除以事件B发生的概率

条件概率：满足条件A的所有事件中，事件B也发生的比例

· 分析的对象：满足条件A的所有事件

·P(B|A) =  = ：事件A,B同时发生的概率除以事件A发生的概率

但是P(B|A)  P(A|B) 。

举例1：在高中生中（条件），主修英语的人，有多少？

·P（主修英语|高中生） =  =  = ，

举例2：在初中生中（条件），主修语文的人，有多少？

·P（主修语文|初中生） =  = ，

举例3：主修数学的人中（条件），有多少人是高中生？

·P（高中生|主修数学） = =  = 。

1.4联合概率，条件概率，与边缘概率

·P(x=主修英语 | y=高中生) = ，P(A|B) = 

·联合概率  = 条件概率 * 边缘概率，P(A,B) = P(A|B) * P(B)，P(B,A) = P(B|A) * P(A)

练习1：另外一所学校，初中生中主修数学（条件概率）的比例为1/3，初中生（边缘概率）的比例为1/2，求初中生并且主修数学（联合概率）的人群占全校的比例？ 分析：p(A=主修数学|B=初中生) = 1/3, p(B=初中生) = 1/2，所以P(A=主修数学B=初中生)为：1/3 * 1/2 = 1/6

练习2: 2017年，找到工作的应届毕业生中，进入IT公司（条件概率）为1/3，毕业生找到工作（边缘概率）的比例为7/9，求找到工作并进入IT行业的人群占所有毕业生的比例？分析：P(A=进入IT公司|B=找到工作)= 1/3，P(B=找到工作) =7/9，所以P(A=进入IT公司B=找到工作)的概率为： 1/3 * 7/9 = 7/27

2.贝叶斯公式

已知某学校，主修数学的人中，属于高中生的条件概率：P(B=高中生|A=主修数学)，主修数学的边缘概率：P（A=主修数学），属于高中生的边缘概率：P(B=高中生)，求高中生中，主修数学的同学的条件概率？分析：已知P(B|A)、P(A)、P(B)，求 P(A|B)？,那么根据联合概率  = 条件概率 * 边缘概率即可求解啦！答： P(A|B) =  =  

那么这样我们就引出了贝叶斯公式啦：

                                        P(A|B) = 

离散情况下（求和），求P(B)的边缘概率，对贝叶斯公式进一步的分解：

首先求P(B),P(B)为主修语数英三门学科的高中学生那么就可知：

P(B) = P(B  A= 语文) +  P(B  A= 数学) +  P(B  A= 英语) 

        = P(B|A=语文) * P(A=语文) + P(B|A=数学) * P(A=数学) + P(B|A=英语)* P(A=英语) ，

所以在离散情况下贝叶斯公式可以分解为：

 P(A|B) =  =  

连续情况下（求积分），对贝叶斯公式进一步的分解：

 P(A|B) = 

练习：感冒的人中50%要打喷嚏，没有感冒的人中2%要打喷嚏。当下，感冒的人占比例为0.1，没感冒的是0.9，求条件概率P(感冒|打喷嚏)？分析: 感冒为事件A，打喷嚏为事件B，已知P(B|A=感冒) = 50%=0.5，P(B|A=没感冒)=0.02，P(A=感冒) = 0.1，P(A=没感冒) = 0.9，求P(A=感冒|B=打喷嚏)?

解：根据离散情况下贝叶斯公式的展开形式将各个已知量带入：

P(A|B) =  =  =   0.22

3.通过案例理解贝叶斯

1. 中乐透2亿美金的人中，60%疯了。中奖率为亿分之一。一个地区历史上有1%的人疯了。现在你的邻居疯了，请问他中乐透了吗？

分析：根据贝叶斯公式：

P(A=中乐透|B=疯了) =  = ，假设P(B=疯了|A=没中乐透) * P(A=没中乐透) 为100x,P(B=疯了|A=中乐透) * P(A=中乐透) 为x，那么P(A=中乐透|B=疯了) = ,可判断出这个邻居疯了但是他没中乐透。

2.流感的人90%要关节疼，发烧等症状。历史统计流感病患为总人群的5%。非流感出现同样症状的概率为30%。你室友出现了关节疼，发烧的症状，请问你要搬家吗？

分析：事件A为流感，事件B为关节疼发烧，已知P(B|A=流感)=0.9，P(B|A=非流感)=0.3，P(A=流感) = 0.05，P(A=非流感) = 0.95，求P(A=流感|B)? 根据贝叶斯公式：

P(A=流感|B) =  =  =   0.14， 所以不用搬家 。

4.贝叶斯公式垃圾短信识别

给定关键词，判断是否是垃圾短信，现在进入代码实战啦！

导入包和数据，数据下载地址：贝叶斯垃圾短信数据资源，往CSDN上传资源一定要选择需要的积分，如果没有积分的话请留言。

根据贝叶斯公式：

· P(垃圾短信|具体关键词) =  = 

那么接下来一个个求吧：

· P(具体关键词|垃圾短信) = 

` P(具体关键词|正常短信) = 

` P(垃圾短信的概率) =  

· P(正常短信的概率) = 

好啦，所有需要的参数我们都知道了 ，现在把这些参数带入贝叶斯公式吧：

贝叶斯公式

贝叶斯公式就写好啦，然后找几个关键词来验证一下有该关键词的短信是不是垃圾短信吧！

脑筋急转弯：概率三门的问题

电视游戏节目中，参赛这会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可以赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏了一只羊。当参赛者选定一扇门，但未去打开它时，主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍关着的门。 问题是： 换另一扇们会否增加参赛者赢得汽车的机率？

分析：信息的关键是，主持人开启门这个事件并不是随机事件，这个概率是1。

确定事件A为参赛选手保持选择不变的情况下获得车，事件B为主持人打开一道门，后面是羊。那么根据贝叶斯公式想求P(A|B)：P(A|B) =  =  = ，所以可以判定，如果参赛者换了另一扇门会增加获取汽车的概率到。