人工智能通识-科普-微积分计算曲线长度

作者: zhyuzh3d | 来源:发表于2019-03-18 08:03 被阅读12次

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这篇我们介绍微积分弧长公式的推导，复习微积分的概念。
如何计算任意函数曲线的长度？

细分曲线

如下图，如何计算在[a,b]区间上任意连续函数 $f(x)$ 曲线的长度？

使用积分的思路，我们把[a,b]区间划分为n份，然后研究每一份的曲线长度如何计算。

如上图所示，我们把曲线长度L划分为n段，变为：

$L=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}|P_i-P_{i-1}|$

每段长度

现在问题就变成了如何计算 $|P_i-P_{i-1}|$ 长度了。

从上图可以知道，每段弧线的长度最终可以近似成为两点之间的直线长度，就是x和y的微分量，即：

$\begin{align} |P_i-P_{i-1}|&=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\ &=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(y_i-y_{i-1})^2}\\ &=\sqrt{(x_i-x_{i-1})^2+(f(x_i)-f(x_{i-1}))^2}\\ \end{align}$

使用微分函数

从微分定义和斜率概念我们知道：

$f'(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

关于微分部分请参考这两个文章：
0117数学-微分
 0118数学-微分2

所以每段细分线段的长度就可以转换成：

$\begin{align} |P_i-P_{i-1}|&=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\ &=\sqrt{(\Delta x)^2+(f'(x)*\Delta x)^2}\\ &=\sqrt{(\Delta x)^2(1+(f'(x))^2)}\\ &=\Delta x\sqrt{1+(f'(x))^2}\\ \end{align}$

由于 $\Delta x$ 就是dx，所以可以写作:

$|P_i-P_{i-1}|=\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

使用积分

我们利用上面这个结论就可以替换掉曲线总长公式中的 $|P_i-P_{i-1}|$ 部分内容：
$\begin{align} L&=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}|P_i-P_{i-1}|\\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \end{align}$

如果我们把上面结果的根号下面内容视为一个函数，那么看上去就很像是积分定义的格式：

$\int_a^bf(z)dx= {\lim_{n \to +\infty}}\sum_{i=1}^{n}f(z)dx$

关于积分的内容请参考这两个文章：
人工智能通识-科普-微积分定理
 人工智能通识-科普-微积分概念

所以我们可以写作把曲线的长度积分公式表示为：

$L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

从这里我们知道，要求[a,b]区间一个曲线函数 $f(x)$ 的曲线长度，那么只要找到它的斜率函数 $f'(x)$ ，然后就可以用积分求得。

在下一篇我们将使用这个曲线公式推导圆周长的算法，为什么圆周长是 $2\pi r$ ？

可能大家已经发现，我很久没有更新编程类文章了，尤其是Python和TensorFlow相关文章，对这方面感兴趣的读者可以观看这里获得更多技巧，例如：
- 神经网络P图神器：摘墨镜，戴美瞳，加首饰，换发型【TensorFlow实现】；
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