机器学习之局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression）

原文地址：blog.csdn.net/tianse12/article/details/70161591

算法背景：

现实生活中很多数据采用线性模型不能很好的描述，比如说房价预测的问题，直线不能很好的拟合所有的数据点，甚至存在较大的误差，我们可能采用一条类似于二次函数的曲线可以拟合的更好。但是为了解决在非线性模型里建立线性模组的问题，我们预测一点的值时，选择与这个点相近的点而不是所有的点做线性回归。基于此，产生了局部加权回归算法。

算法思想：

局部加权回归是基于非参数学习算法的思想，使得特征的选择更好。赋予预测点附近每一个点以一定的权值，在这上面基于波长函数来进行普通的线性回归.可以实现对临近点的精确拟合同时忽略那些距离较远的点的贡献，即近点的权值大，远点的权值小，k为波长参数，控制了权值随距离下降的速度，越大下降的越快。越小越精确并且太小可能出现过拟合的问题。

普通的线性回归函数使用的最小二乘法，即cost函数是

要使得J(Θ)最小化，求得线性回归参数

加入局部加权算法，cost函数变成了加权的cost函数，如下面的形式

其中w(i)是权重

同样可以求得线性回归参数Θ为下面的形式

在使用这个算法训练数据时，我们需要学习两类参数，线性回归的参数以及波长参数。

算法的缺点主要在于对于每一个需要预测的点，都要重新依据整个数据集模拟出一个线性回归模型出来，使得算法的代价极高。

代码实现Python：

#coding=utf-8

#LocallyWeightedLinearRegression.py

#局部加权线性回归算法的实现

#其中线性回归使用的最小二乘法,因此回归系数是 theta = (X.T* W * X).I * X.T *W * Y

from numpy import *

#加载数据

def load_data(fileName):

numFeat = len(open(fileName).readline().split(',')) - 1

dataMat = []; labelMat = []

fr = open(fileName)

for line in fr.readlines():

lineArr =[]

curLine = line.strip().split(',')

for i in range(numFeat):

lineArr.append(float(curLine[i]))

dataMat.append(lineArr) #实际数据集

labelMat.append(float(curLine[-1]))#实际数据标签值

return dataMat,labelMat

# 对某一点计算估计值

def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):

xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T#矩阵化

m = shape(xMat)[0]#取得维度25

weights = mat(eye((m)))#eye生成对角矩阵,m*m

for i in range(m):

diffMat = testPoint - xMat[i, :]#计算测试点坐标和所有数据坐标的差值

#计算权值 w =exp（(-（xi-X）^2)/(2*k*k)）

weights[i, i] = exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0 * k**2)) # 计算权重对角矩阵

xTx = xMat.T * (weights * xMat) #对x值进行加权计算 # 奇异矩阵不能计算

if linalg.det(xTx) == 0.0:

print('This Matrix is singular, cannot do inverse')

return

#theta = (X.T* W * X).I * X.T *W * Y

theta = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat)) # 计算回归系数 ,对y加权

return testPoint * theta

# 对所有点计算估计值

def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k = 1.0):

m = shape(testArr)[0]

yHat = zeros(m)#初始化预测值列表

for i in range(m):

yHat[i] = lwlr(testArr[i], xArr, yArr, k)

return yHat

#coding=utf-8

#测试局部加权线性回归算法

import matplotlib.pyplot as plt

import LocallyWeightedLinearRegression as lwlr

from numpy import *

xArr, yArr = lwlr.load_data('ex2.txt')

yHat = lwlr.lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.1)

xMat = mat(xArr)

strInd = xMat[:, 1].argsort(0)#返回数据第二列从小到大的索引值

#xSort = xMat[strInd][:, 0, :]#返回第一列和第二列，根据上面索引顺序取出

xSort = xMat[strInd][:]#返回第一列和第二列，根据上面索引顺序取出,xSort为Xmat的另一个拷贝

fig = plt.figure()

ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

ax.plot(xSort[:, 1], yHat[strInd])#画出拟合的线

ax.scatter(xMat[:, 1].flatten().A[0], mat(yArr).T.flatten().A[0], s = 2, c = 'red')#画出实际点

plt.show()