3D数学-透视投影
好记性不如烂笔头啊,还是记录一下!
概述
投影变换完成的是如何将三维模型显示到二维视口上,这是一个三维到二维的过程。你可以将投影变换看作是调整照相机的焦距,它模拟了为照相机选择镜头的过程。投影变换是所有变换中最复杂的一个。
近大远小
近大远小是众所周知的光学现象。之所以出现这种现象,是因为离人眼近的物体在视网膜上的投影大,而离眼睛远的物体在视网膜上的投影小。如下图所示,红色箭头和蓝色箭头的高度相同,但是蓝色箭头离眼睛近,因此它在视网膜上的投影,要大于红色箭头的投影。
3D数学-透视投影_1.jpg然而物体看上去的大小,除了与它离眼睛的远近有关,还和物体本身的尺寸有关。视角(angle of view 或者 field of view 视域)
可以取代上述两者,直接比较物体看上去的大小。在计算机图形学中,为了让三维物体显示在屏幕上有立体感,有必要模拟人眼近大远小
这一个特性,利用透视投影矩阵可以方便地完成这项任务。
视锥体
视锥体是一个三维体,他的位置和摄像机相关,视锥体的形状决定了模型如何从camera space
投影到屏幕上。透视投影使用棱锥作为视锥体,摄像机位于棱锥的椎顶。该棱锥被前后两个平面截断,形成一个棱台,叫做View Frustum
,只有位于Frustum
内部的模型才是可见的。我们也通常称这个为裁剪空间
,在这个裁剪空间中有两个平面比较特殊,我们分辨称为近裁剪平面(near clip plane)
和远裁剪平面(far clip plane)
。
投影矩阵的本质
投影矩阵有两个目的:
- 首先是为投影做准备。这是个迷惑点。虽然投影矩阵的名称包含了投影二字,但是它并没有进行真正的投影工作,而是在为投影做准备。真正得投影发生在后面得
齐次除法(homogeneous division)
过程中。经过投影矩阵的变换后,顶点的w分量会具有特殊的意义。 - 其次是对,,分量进行缩放。如果用视锥体的6个裁剪平面来进行裁剪会比较麻烦,而经过投影矩阵的缩放后,久可以直接使用分量作为一个范围值。如果,,分量都位于这个范围内,就说明该顶点位于裁剪空间内,如下图所示:
投影矩阵推导
3D数学-透视投影_5.gif如图所示:
是相机空间中的一个坐标点
表示该坐标点在近裁剪平面(near clip plane)
上的投影坐标
表示经过透视投影后在规范化设备坐标系(Normalized Device Coordinates)
中的坐标
表示近裁剪平面(near clip plane)
的左边,即
表示近裁剪平面(near clip plane)
的右边,即
表示近裁剪平面(near clip plane)
的上边,即
表示近裁剪平面(near clip plane)
的下边,即
有以下关系式:
可解出得:
同理:
现在需要将映射到,得范围是,得范围是,可以利用简单线性插值的方法获得以下关系式:
同理可得到以下方程组:
可解出得:
最后看看,当视锥体内的顶点投影到近裁剪平面(near clip plane)
的时候,实际上的值已经没有意义了,因为所有近裁剪平面(near clip plane)
上的点,他们的值都是-n
,看起来我们甚至可以抛弃这个值,可以么?当然不行!不要忘记还有深度测试。到这条直线上的点都会投影到这个点,那么如果直线上有多个点投影到同一个点时,如何确定最终保留哪一个呢?当然时距离观察者最近的这个了,也就是深度值()最小的,所以可以直接保存为的值。由于在光栅化的过程中,要进行坐标的倒数的插值(参考《3D数学-透视校正插值》),因此映射函数应为的函数,同时允许深度投影是线性插值,则可以获得以下映射函数的表达式:
在映射前,的范围是。在映射后,的范围是。需要找到,的映射关系(该映射应该将z坐标反向,因为齐次裁剪空间为左手坐标系
), 将数据代入上面的一次式,可得下面的方程组:
解出可得:
可以得到坐标映射到的映射函数为:
整理可得:
可以发现以上等式中都除以,则3D点对应的齐次坐标为:
则,,分别为:
以上函数组为点的线性函数组,因此可以用一个的矩阵来表示点的计算公式:
就是最终的透视变换矩阵。相机空间中的顶点,如果在视锥体中,则变换后就在规范化设备坐标系(Normalized Device Coordinates)
中。如果在视锥体外,变换后就在规范化设备坐标系(Normalized Device Coordinates)
外,而规范化设备坐标系(Normalized Device Coordinates)
本身的规则性对于多边形的裁剪很有利。
投影矩阵的另一种形式
视角(angle of view 或者 field of view 视域)
是视锥体再平面或者平面的开角角度,也可以用来描述透视投影矩阵。具体哪个平面都可以,OpenGL
和D3D
都使用平面,Aspect
是投影平面的宽高比,如图所示:
![avatar][image5]
可以得到一下关系式:
所以还可以写成:
z-fighting
还有一点需要额外注意,上述变换矩阵的过程中,和,和是线性的,但是和是非线性的:
越接近,越接近1,越接近,越接近-1。也就是说,越大,离相机越远,反之离相机越近。随的变化关系如下图所示:
3D数学-透视投影_6.png通过观察左侧图,我们发现:当相机坐标系中的点越接近近裁剪平面(near clip plane)
时,上发生的微小变化都会导致的剧烈变化;而当点越接近远裁剪平面(far clip plane)
时,对上发生的变化不敏感。在做渲染时,方向的绝对深度并没有意义,我们只需要知道各点的相对深度,确定遮挡关系,保证靠近相机的点挡住它后面离相机远的点即可。因此,越接近近裁剪平面(near clip plane)
的点,它的深度渲染就越准确,而越接近远裁剪平面(far clip plane)
的点,它的深度渲染就越不准确。
此外,对比上面的左右两幅图,我们发现:当远裁剪平面(far clip plane)
和近裁剪平面(near clip plane)
距离较大时,接近远裁剪平面(far clip plane)
的点的对的变化十分不敏感,这样导致的问题称为z-fighting
。因此,在条件允许的情况下,应该尽量减小两个裁剪平面
之间的距离。
附一张方向的映射关系图:
3D数学-透视投影_7.png饮水思源
参考文献:
《3D游戏与图形学中的数学方法》
《透视投影详解》
《Perspective Projection Matrix 透视投影矩阵的推导》
《图形学扫盲--(2)透视投影(Perspective Projection)》
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