Sobolev紧嵌入

作者: xhje | 来源:发表于2019-12-14 20:59 被阅读0次

Sobolev紧嵌入
Bash Testing
2018-02-07
向量值函数笔记:Sobolev空间
资源标签
Linux嵌入式系统开发，嵌入式Linux开发教程
喵～不能说的秘密
静坐
越紧越紧
紧

这篇笔记整理一下紧嵌入定理的证明, 试图尽量干净地处理这件事情. 主要参考的是Adams的书和Evans的书.
我们首先不加说明地引入 $\mathbb{R}^d$ 上的磨光函数 $\alpha$ 和磨光函数族 $\{\alpha_\varepsilon\}$ , 以及平移算子 $\tau_hu(x)=u(x-h)$ , 然后叙述一个引理.

引理1. 设 $1\le p<\infty$ , 则对任何 $u\in L^p(\mathbb{R}^d)$ , 有 $\|\alpha_\varepsilon\ast u-u\|_p\le\sup_{|h|<\varepsilon}\|\tau_hu-u\|_p$
证明. $p>1$ 时, 直接计算:
$\|\alpha_\varepsilon\ast u-u\|_p=\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left|\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)(u(x-y)-u(x))dy\right|^pdx\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)^{1/p'}\alpha_\varepsilon(y)^{1/p}|u(x-y)-u(x)|dy\right)^pdx\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)dy\right)^{p/p'}\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)|u(x-y)-u(x)|^pdy\right)dx\right)^{1/p}$
$=\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)\int_{\mathbb{R}^d}|\tau_yu(x)-u(x)|^pdxdy\right)^{1/p}$
$\le\left(\int_{\mathbb{R}^d}\alpha_\varepsilon(y)\sup_{|y|<\varepsilon}\|\tau_yu-u\|_p^pdy\right)^{1/p}=\sup_{|y|<\varepsilon}\|\tau_yu-u\|_p$
$p=1$ 的情形是完全类似的, 甚至更容易, 不需要用到Holder不等式. $\rule{3mm}{3mm}$

接下来我们设 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 是有界区域(即连通开集), 我们需要考察 $L^p(\Omega)$ 中的列紧集(这里列紧的定义按张恭庆的书, 也即Rudin和Adams的书中的准紧)是什么样的. 我们用下面的引理刻画这些集合.

引理2. 设 $1\le p<\infty$ . 对 $\Omega$ 上的函数 $u$ , 定义 $\tilde u$ 为它在 $\mathbb{R}^d$ 上的零延拓. 则有界子集 $K\subset L^p(\Omega)$ 是列紧集当且仅当对任何 $\varepsilon>0$ , 存在着一个 $\delta>0$ 使得对任何 $u\in K$ 有 $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p<\varepsilon$ .
证明. 先证明必要性. 设 $K$ 是列紧的, 则 $\tilde K=\{\tilde u|u\in K\}\subset L^p(\mathbb{R}^d)$ 也是列紧的. 固定 $\varepsilon>0$ , 存在着 $\tilde K$ 的有限 $\varepsilon/6$ 网 $\{\psi_k\}_{k=1}^n\subset L^p(\Omega)$ . 由于 $C_c(\mathbb{R}^d)$ 在 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中稠密, 故存在 $\{\phi_k\}_{k=1}^n\subset C_c(\mathbb{R}^d)$ 使得 $\|\phi_k-\psi_k\|_p<\varepsilon/6$ , 如此一来 $\{\phi_k\}$ 是 $\tilde K$ 的 $\varepsilon/3$ 网.
显然(证明略)存在着 $\delta>0$ 使得 $\forall k$ , $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\phi_k-\phi_k\|_p<\varepsilon/6$ . 那么对任何 $\tilde u\in \tilde K$ , 存在 $\phi_k$ 使得 $\|u-\phi_k\|_p<\varepsilon/3$ , 从而 $\forall h(|h|<\delta)$ , 有
$\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p\le\|\tau_h\tilde u-\tau_h\phi_k\|_p+\|\tau_h\phi_k-\phi_k\|_p+\|\phi_k-\tilde u\|_p$
$<\varepsilon/3+\varepsilon/6+\varepsilon/3<5\varepsilon/6$
从而 $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p\le5\varepsilon/6<\varepsilon$ .
再证充分性. 为此任意固定 $\varepsilon>0,$ 我们需要找列紧的 $\varepsilon$ 网. 事实上, 我们取 $\delta>0$ 使得 $\forall u\in K$ , $\sup_{|h|<\delta}\|\tau_h\tilde u-\tilde u\|_p<\varepsilon$ , 然后考虑集合 $\tilde S=\{\alpha_\delta\ast\tilde u|u\in K \}\subset C_c(\mathbb{R}^d)\cap L^p(\mathbb{R}^d)$ , 由引理1知这是 $\tilde K$ 的一个 $\varepsilon$ 网, $\tilde S$ 中的函数在 $\Omega$ 上的限制 $S=\{f|_\Omega:f\in\tilde S \}$ 也是 $K$ 的 $\varepsilon$ 网. 然后我们需要说明 $S$ 在 $L^p(\Omega)$ 中是列紧的. 注意到 $\|\alpha_\delta\ast\tilde u\|_\infty\le\|\alpha_\delta\|_{p'}\|\tilde u\|_{p}\le C$ , $\|\partial(\alpha_\delta\ast\tilde u)\|_\infty\le\|\partial\alpha_\delta\|_{p'}\|\tilde u\|_p\le C$ , 从而 $\{\alpha_\delta\ast\tilde u \}$ 在 $C(\mathbb{R}^d)$ 中有界并且等度连续, 从而在 $C(\overline\Omega)$ 中列紧, 从而在 $L^p(\Omega)$ 中列紧. $\rule{3mm}{3mm}$

我们还需要一个引理.
引理3. 设 $1\le p<\infty$ , $u\in H^{1,p}(\mathbb{R}^d)$ , 则 $\|\tau_hu-u\|_p\le|h|\|\partial u\|_p$ .
证明. 先考虑 $u\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 的情形. 此时
$\|\tau_hu-u\|_p=$

Sobolev紧嵌入
这篇笔记整理一下紧嵌入定理的证明, 试图尽量干净地处理这件事情. 主要参考的是Adams的书和Evans的书.我们...
Bash Testing
Testing Bash applications by Nikita Sobolev； Testing Your...
2018-02-07
想回家。不想看什么龙哥库塔，不想看收敛稳定性，不想看sobolev空间不想开会，不想写solution pla...
向量值函数笔记:Sobolev空间
这是向量值函数(B值函数)系列笔记的第三篇. 为方便阅读, 这里放出目录:(1)向量值函数笔记: Bochner积...
资源标签
嵌入资源 ·img ·iframe 嵌入页面 ·object 嵌入外部资源 ·embed 嵌入外部资源 ·v...
Linux嵌入式系统开发，嵌入式Linux开发教程
嵌入式有不少组合名词，例如嵌入式系统，嵌入式软件，Linux嵌入式，Android嵌入式，嵌入式Web，等等。通常...
喵～不能说的秘密
逼仄的衣柜里，我屏住呼吸，闭着眼睛，紧贴着柜体站得笔直。双手捏成拳头，指甲深深嵌入肌肤，丝丝疼痛竟能稍稍缓解我的紧...
静坐
做了二十分钟静坐，脑子想着现在的行为嵌入过去的行为，脑子有点乱。起来做昆达里尼，跳了一会，中间觉得人有点紧，其实...
越紧越紧
其实前两天在家里感觉有点走上正规了，但是现在学校里，自己又有点找不到一点一点前进的感觉。家里面为什么总是能感觉到充...
紧
当我们同床共枕我都会用最安全的方式抓紧你我怕床变成深渊抓不住你