变分推断

作者：知乎用户

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最干的干货：

首先，我们的原始目标是，需要根据已有数据推断需要的分布p；当p不容易表达，不能直接求解时，可以尝试用变分推断的方法， 即，寻找容易表达和求解的分布q，当q和p的差距很小的时候，q就可以作为p的近似分布，成为输出结果了。

在这个过程中，我们的关键点转变了，从“求分布”的推断问题，变成了“缩小距离”的优化问题。

举生活中的例子太难了，还是看图说话容易些。

黄色的分布是我们的原始目标p，不好求。它看上去有点像高斯，那我们尝试从高斯分布中找一个红q和一个绿q，分别计算一下p和他们重叠部分面积，选更像p的q作为p的近似分布。

-----------------线性逻辑求解思路版----------------------

理解变分推断的精华步骤：

我们拥有两部分输入：数据x，模型p(z, x)。

我们需要推断的是后验概率p(z | x)，但不能直接求。

构造后验概率p(z | x)的近似分布q(z; v)。

不断缩小q和p之间的距离直至收敛。

变分推断要解决的问题类，叫做概率机器学习问题。简单来说，专家利用他们的知识，给出合理的模型假设p(z, x)，其中包括隐含变量z和观察值变量x。（需要说明的是，隐含变量z在通常情况下不止一个，并且相互之间存在依赖关系，这也是问题难求解的原因之一。）为了理解隐含变量和观察值的关系，需要说明一个很重要的概念叫做“生成过程模型”。我们认为，观察值是从已知的隐含变量组成的层次结构中生成出来的。以高斯混合模型问题举例。我们有5个相互独立的高斯分布，分别从中生成很多数据点，这些数据点混合在一起，组成了一个数据集。当我们转换角度，单从每一个数据点出发，考虑它是如何被生成的呢？生成过程分两步，第一步，从5个颜色类中选一个（比如粉红色），然后，再根据这个类对应的高斯分布，生成了这个点在空间中的位置。隐含变量有两个，第一个是5个高斯分布的参数u，第二个是每个点属于哪个高斯分布c，u和c共同组成隐含变量z。u和c之间也存在依赖关系。

2.  后验概率p(z | x)是说，基于我们现有的数据集合x，推断隐含变量的分布情况。利用高斯混合模型的例子来说，就是求得每个高斯分布的参数u的概率和每个数据点的颜色的概率c。根据贝叶斯公式，p(z | x) = p(z, x) / p(x)。 我们根据专家提供的生成模型，可知p(z, x) 部分（可以写出表达式并且方便优化），但是边缘概率p(x)，是不能求得的，当z连续时，边缘概率需要对所有可能的z求积分，不好求。当z离散时，计算复杂性随着x的增加而指数增长。

3.  我们需要构造q(z; v)，并且不断更新v，使得q(z;v)更接近p(z|x)。首先注意，q(z;v)的表达，意思是z是变量，v是z的概率分布q的参数。所以在构造q的时候也分两步，第一，概率分布的选择。第二，参数的选择。第一步，我们在选择q的概率分布时，通常会直观选择p可能的概率分布，这样能够更好地保证q和p的相似程度。例如高斯混合模型中，原始假设p服从高斯分布，则构造的q依然服从高斯分布。之后，我们通过改变v，使得q不断逼近p。

4. 优化问题的求解思路。优化目标很明确，减小KL散度的值即可。然而不幸的是，KL的表达式中依然有一部分不可求的后验概率。这就是为什么会有ELBO的存在原因。利用下面的等式，ELBO中只包括联合概率p(z, x)和q(z; v)，从而摆脱后验概率。给定数据集后，最小化KL等价于最大化ELBO，因此ELBO的最大化过程结束时，对应获得的q(z;v*)，就成为了我们的最后输出。

我知道，你就算背过这四步，照样不会做题，因为你尚不能达到”理解“的程度，只算”略知一二“。

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写在前面：这部分的理解需要一些基本的概率论知识和最优化知识，适合本科生拓展阅读。你需要的是，沉下心来细细琢磨我接下来罗里吧嗦的逻辑，并且前后回顾我提到的数学符号和公式。放心，真正恶心的证明内容，在后面的后面的后面呢。

现在请你忘掉上面看到的东西，听我重头开始讲一个故事。

Probabilistic Pipeline:

上图是概率机器学习问题的一般求解思路流程图。领域专家拥有知识可以用来建模，并且拥有问题需要被回答。他们依据拥有的知识，给出合理的假设，并且构建出数据的生成过程模型(Generative Processing Model)。模型中主要包括两部分，隐含变量，变量之间的依赖关系。利用该模型，我们希望处理获得的数据，挖掘有价值的模式，然后实现各式各样的Applications。

那么，推断的目的，就是根据我们给定的数据，可以更加细致的刻画生成过程模型中的变量吗？我个人的理解是，专家给出的假设模型相对来说泛化一些，针对不同的数据集，其中的变量的分布（参数值）会有不同，发掘的模式也自然不同。

General和Scalable是两大终极目标，我将要介绍的经典变分推断算法在一定程度上有了非常好的表现。

2. Example: Mixture of Gaussian.

高斯混合模型，作为一种生成过程模型，我们可以数学化定义如下：

模型混合了K个相互独立的高斯分布（K是超参数），他们的方差被专家定为1(我猜这不是必须的，只是为了简化问题)，他们的均值未知，但都是从一个已知的高斯分布中产生的，如第一行所示。

对任一数据点Xi，从模型中生成它的过程分两步。第一步，依据类别分布，选择Xi对应的类标签Ci，如第二行所示；第二步，从类标签Ci对应的高斯分布中产生点Xi，如第三行所示。

更细致的举例说明，如第二篇那个彩色的图，五个分布用不同颜色表示出来，代表五个类。每次从中（均匀的）选择一个类，如第三类粉红色，Ci={0，0，1，0，0} ，然后Xi的抽取依据第三个高斯分布，其均值为Ci*U=U3。自然，该点大概率出现在粉红色类覆盖的区域。

接下来的描述很关键，请别走神。

依据上述假设，专家给出的生成过程模型，包括了三个变量，其中U和C是隐含变量，Xi是观察值变量。更细致的说，U是全局变量，作用发挥在所有数据上，Ci是局部变量，只跟对应数据点Xi相关，与其他点的生成过程无关。他们之间存在的依赖关系，如盘子图所示：

读懂盘子图很简单，一看变量，白圈是隐含变量，盘里的是局部变量，盘外的是全局变量，灰圈是观测值；二看盘子，盘子表示里面的变量zi和xi独立重复n次；三看依赖，箭头表示生成谁需要谁。

基于上述盘子图，我们可以写出表示生成模型的联合概率分布。这个联合概率就看着恶心，其实很好理解，因为，这个等式就是利用盘子图写出来的。仔细瞅，等式右边的三部分分别对应图中三个变量，独立重复的写成连乘形式，有依赖关系的写成条件概率，齐活。必须说明的是，他们三个的分布的形式，其实也是专家在一开始就已经假设好的，通常为基本分布，后续计算使用基本分布的各种特性会容易很多。

在高斯混合模型问题中，专家需要我们推断什么？事实上，我们的观测数据X，是由没有标签类的点构成的，我们需要根据这些数据集，推断C，每个点是数据哪个颜色类的，并且推断U，每个类对应的高斯分布的均值具体等于什么

3. 从形式化角度，我们到底在推测什么？推测后验概率：给定观测数据x，隐含变量的条件概率。

类似上述GMM的例子，我们把问题用更一般的形式表示一下，这个一般形式可以用来描述各种各样的概率机器学习模型。（如果你刚好有一个新问题想用变分推断来解决，尝试套进来）

为什么后验不好求？有了联合概率分布，求后验自然而然的想用贝叶斯公式。悲催的是，分母边缘概率intractable，如下公式所示。即使当隐含变量离散（K个值），计算的复杂度（K^n）是会随着数据量n增长呈指数增长趋势的，依然不可计算。

4. 首先解释这个VI主旨图。图中的大圈表示了一个distribution family，参数v是其索引，我们也可以理解为，圈是q的参数v的取值空间，每个点表示每个参数值v对应的q。用高斯混合模型的例子，我们构造q是高斯分布，但是均值参数和方差参数的值不同，代表的分布情况不同，所有的值对应的分布都是这个圈中的一个点。从V-init到V*，这条路径表示我们在迭代过程中，不断缩小的是q与p之间的距离，用KL散度衡量。

图中的隐含变量z，其实包括了局部变量和全局变量。v也是，对应了所有我们添加的所有的参数。

这里我觉得可以讨论一下KL。什么是KL？KL常被用来衡量两个分布的重叠程度，始终非负。当两个分布完全相同时，KL=0。为什么选KL？Blei的意思是，我们可以选其他的，不过KL可以Make life easy。我个人认为，针对不同的模型，可以选择其他距离函数，如果能够使得后续优化问题更方便求解。（从DNN过来的同学们请注意，我们这里是在找相似的分布，不能直接单纯用欧氏距离，去判断分布的参数值的增减导致的分布的变化）

5. 关于如何构造q(z;v)。最好的情况，我们知道p的分布是高斯，那么假设q同样是高斯分布，更可能的逼近p。其实不一定要求p是高斯分布，只要它属于exponential family，那么我们把q也放宽，q也属于这个家族即可。因为，exponential family有一个很好的性质（ the Hessian of the log normalizer functiona with respect to the natural parameter λ is the covariance matrix of the sufficient statistic vectort(β)）这个性质允许我们很巧妙的简化了自然梯度的推导。事实上这个要求是很宽泛的，家族基本包括了我们常用的大量分布，然而不可否认的是，当p本身不属于这个家族时，q可能永远无法近似p，徘徊遥相望。这是变分推断的固有缺陷，计算结果是一个难以提前估计的近似。

瞅瞅图，原来的分布中，非常重要的变量之间依赖关系，在构造q的时候统统打散，相互独立。它叫做mean-field，是变分推断中最基础最简单的一种构造方式（很多后续研究在用各种方法弥补丢掉的依赖信息）。

如果你有个疑问说，为什么q中没有x了。我的回答是，我们本来想求的条件概率p，是beta和z的联合分布（在给定x的情况下）。那我们的q，也是beta和z的联合分布，并且只由构造的参数决定，与x无关。

我们还是用GMM的例子形象的描述构造过程。

对于5个高斯分布中的某一个Uk，我们构造的q(uk;mk,sk)，也属于高斯分布，因此添加了两个变分参数，m是均值，s是标准差。局部变量c_i（表示某个点属于哪一个高斯类），本属于多项式分布，因此在q中它依然是多项式分布，引入变分参数phi_i，phi_i是一个k维向量。