3D游戏引擎中常用的矩阵变换

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

基本运算

矩阵相乘

• 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘。

• 矩阵相乘不遵守交换律(Commutative)，也就是说A ⋅ B ≠ B ⋅ A

  
  

缩放位移矩阵

glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(Sx, Sy, Sz));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(Tx, Ty, Tz)); 

旋转矩阵

• 欧拉角

  • Y 偏航角(yaw)
    绕y轴旋转，类似我们的摇头动作

    
    

  • X 俯仰角(pitch)
    绕x轴旋转，类似我们的点头动作

    
    

  • Z 滚转角(roll)
    绕z轴旋转，你可以想象飞船在做360°翻转动作

    
    
• 示例
  矩阵乘法是不遵守交换律的，所以它们的顺序很重要。
  当矩阵相乘时，在最右边的矩阵是第一个与向量相乘的，所以你应该从右向左阅读。

// 在代码中我们先位移再旋转，实际的变换却是先应用旋转再是位移
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));

• 万向节锁
  利用旋转矩阵不可避免会产生万向节锁问题，有关万象节锁的研究可以看看这个视频：《欧拉旋转》
• 四元数
  真正要避免万向节锁问题需要使用四元数，有关四元数的研究可以看看这篇博客：《理解四元数》

正射投影矩阵

将OpenGL坐标系映射到指定宽高的屏幕坐标

图片转自https://learnopengl.com

// 参数：左边界，右边界，下边界，上边界，近平面，远平面
glm::ortho(float L, float R, float B, float T, float N, float F);
// 示例
glm::ortho(0.0f, width, 0.0f, height, 0.0f, 100.0f)

• 近平面和远平面构成的长方体箱子（平截头体）之外的内容都会被裁剪
• 屏幕上的点会被缩小宽高比例，并移动(以x轴为例)- (R + L) / (R - L)，即将非平截头体内的内容移出
• 因为OpenGL是右手坐标系，近平面1.0f，远平面-1.0f，为了转化为我们常见远近认知（左手坐标系），z轴进行了负缩放

透视投影矩阵

3D游戏中的透视效果，离的越远的东西看起来越小

图片转自https://learnopengl.com

// 参数：视野弧度，宽高比，近平面，远平面
glm::perspective(float F, float A, float N, float F)
// 示例
glm::perspective(glm::radius(45.0f), width / height, 0.1f, 100.0f);

• 近平面和远平面构成的不规则箱子（平截头体）之外的内容都会被裁剪
• 视野越大，看到的东西越多，通常为glm::radius(45.0f)
• 近平面不能为0，这样整个屏幕都会绘制到一个点上，通常为0.1f
• 近平面设置太大，表现为物体太靠近时会穿过去（消失）

观察矩阵

顾名思义，是一个看着目标物体的矩阵，模拟出一个摄像机

// 上图中的f，s，u分别对应以下变量
glm::vec3 f = glm::normalize(center - eye)
glm::vec3 s = glm::normalize(glm::cross(f, up))
glm::vec3 u = glm::cross(s, f)

// 参数：摄像机位置，目标点，上向量
glm::lookAt(glm::vec3 &eye, glm::vec3 &center, glm::vec3 &up)
// 示例
glm::vec3 cameraPos   = glm::vec3(0.0f, 0.0f,  3.0f); // 摄像机位置向量
glm::vec3 cameraFront = glm::vec3(0.0f, 0.0f, -1.0f); // 摄像机方向向量
glm::vec3 cameraUp    = glm::vec3(0.0f, 1.0f,  0.0f); // 上向量
// 摄像机位置向量 + 摄像机方向向量 = 目标点向量
glm::lookAt(cameraPos, cameraPos + cameraFront, cameraUp);

• 设置摄像机位置时，注意是右手坐标系
• 通过摄像机位置向量 + 摄像机方向向量，可以得到摄像机方向
• 通过上向量叉乘摄像机方向可以得到右向量(两个向量叉乘的结果会同时垂直于两向量)

在一个3D游戏，顶点着色器最终都会乘上三个矩阵

// 透视矩阵 * 观察矩阵 * 模型变幻矩阵 * 顶点信息
gl_Position = projection * view * model * vec4(a_position, 1);

摄像机变换

依托观察矩阵，我们可以很方便的模拟出一个摄像机，并实现相关的变换。

摄像机移动

操作观察矩阵中的cameraPos变量

• 前进(＋) / 后退(－)：摄像机方向 * 移动距离

cameraPos += cameraFront * distance;

• 右移(＋) / 左移(－)：摄像机方向叉乘上向量 * 移动距离

cameraPos += glm::normalize(glm::cross(cameraFront, cameraUp)) * distance;

• 上移(＋) / 下移(－): 两次叉乘得到上向量，我们称为格拉姆—施密特正交化(Gram-Schmidt Process)

cameraPos += glm::normalize(glm::cross(glm::cross(cameraFront, cameraUp), cameraFront)) * distance;

摄像机旋转

操作观察矩阵中的cameraFront变量

float pitch = glm::radians(45.0f); // 俯仰角
float yaw = glm::radians(30.0f); // 偏航角

cameraFront.y = sinf(pitch); // 摄像机方向y
float newRadius = cosf(pitch); // 俯仰后偏航半径变化
cameraFront.x = newRadius * sinf(yaw); // 摄像机方向x
cameraFront.z = -newRadius * cosf(yaw); // 摄像机方向z
cameraFront = glm::normalize(cameraFront); // 单位化

后记：
依赖游戏引擎，你可能并不需要实现这些，但是这些原理是你有必要掌握的。
3D的世界很精彩，我们要学习的也很多，希望能在这条路上越走越远。
与君共勉！

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