概述:主要讲述矩阵变换与图形变化的联系,逐步将矩阵应用到动画编程,重点讲述透视变换 M34;
参考文献: (3D数学基础：图形与游戏开发 -- (美)Fletcher.Dunn)
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一. 矩阵基础
不做讨论,请参阅[3D数学基础：图形与游戏开发 -- (美)Fletcher.Dunn),视跟人基础选读 Chapter7,Chapter8,Chapter9 即可,重点在矩阵乘法(X);
二.矩阵乘法的几何意义:
矩阵乘法本质:矩阵乘法的本质是线性空间运动的描述！ 具体见下图:
矩阵乘法几何描述.jpg
对于矩阵乘法，主要是考察一个矩阵对另一个矩阵所起的变换作用。其作用的矩阵看作是动作矩阵，被作用的矩阵可以看作是由行或列向量构成的几何图形。同样，如果一连串的矩阵相乘，就是多次变换的叠加么。而矩阵左乘无非是把一个向量或一组向量（即另一个矩阵）进行伸缩或旋转。乘积的效果就是多个伸缩和旋转的叠加！比如S=ABCDEF会把所有的矩阵线性变化的作用力传递并积累下去，最终得到一个和作用力S。工业上的例子就是机器人的手臂，机械臂上的每个关节就是一个矩阵（比如可以是一个旋转矩阵），机械臂末端的位置或动作是所有关节运动的综合效果。这个综合效果可以用旋转矩阵的乘法得到。
在code 的世界里,可以简单理解为一个视图A(矩阵A) 到另一个视图B(矩阵B)的映射;
三. CALayer的transform扩展解析
在iOS 开发中已经给出了部分API,我们重点关注 M34 的透视效果;
CATransform3DMakeTranslation
CATransform3DMakeScale
CATransform3DMakeRotation
绕坐标轴的旋转场景:
如图：
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使用
image.layer.transform = CATransform3DMakeRotation(M_PI/6, 0, 1, 0); 绕Y轴旋转30度后的效果:
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可以发现，绕Y轴旋转只是在X轴上进行了缩放，这是因为，在CALayer的显示系统中，默认的相机使用正交投影，正交投影没有远小近大效果，所以在本例中，只能造成相应轴上的缩放。在这种情况下，无论是绕Y轴旋转30度还是-30度都是同样的效果。
透视投影
CALayer默认使用正交投影，因此没有远小近大效果，而且没有明确的API可以使用透视投影矩阵。所幸可以通过矩阵连乘自己构造透视投影矩阵。构造透视投影矩阵的代码如下：
CATransform3D CATransform3DMakePerspective(CGPoint center, float disZ){
CATransform3D transToCenter = CATransform3DMakeTranslation(-center.x, -center.y, 0);
CATransform3D transBack = CATransform3DMakeTranslation(center.x, center.y, 0);
CATransform3D scale = CATransform3DIdentity; scale.m34 = -1.0f/disZ;
return CATransform3DConcat(CATransform3DConcat(transToCenter, scale), transBack);
}
CATransform3D CATransform3DPerspect(CATransform3D t, CGPoint center, float disZ){
return CATransform3DConcat(t, CATransform3DMakePerspective(center, disZ));
}
代码中，center指的是相机 的位置，相机的位置是相对于要进行变换的CALayer的来说的，原点是CALayer的anchorPoint在整个CALayer的位置，例如CALayer的大小是(320, 160), anchorPoint值为(0.5, 0.5)，此时anchorPoint在整个CALayer中的位置就是(160, 80)，正中心的位置。传入透视变换的相机位置为(0, 0)，那么相机所在的位置相对于CALayer就是(160, 80)。如果希望相机在左上角，则需要传入(-160, -80)。disZ表示的是相机离z=0平面（也可以理解为屏幕）的距离。
怎么解释这段代码呢？
- 第一步，layer在CATransform3DPerspect方法中首先进行了t变换，要注意的是这时候进行的t变换是以anchorPoint为中心点，默认情况下是在layer的中心位置。
- 第二步，在CATransform3DMakePerspective方法先进行了一个(-center.x, -center.y, 0)的平移，然后进行了透视投影，最后又做了一个(center.x, center.y, 0)平移。关键在于这两个反向的平移。 当center为(0,0)也就是相机中心在CALayer的中心位置，与anchorPoint(0.5, 0.5)重合时，平移的距离为0也就是没有做平移，这时候是直接把已经做过t变换的layer通过scale进行透视投影变换的。
当center不在中心位置时，假设在CALayer的左上角，那么center为(-160, -80)。那center就平移到了(0,0)点，等于把相机点又平移回到了与anchorPoint重合的这一点，但由于平移此时这个重合点成矩形图片的左上角了。那么为什么要平移至使相机点与anchorPoint点重合呢？
这里得明确一点，相机点与layer同时在X-Y平面上做相同的偏移时，因为没有改变z值，在相机点看到的立体效果是相同的，只是相对原点的位置变动了而已。在相机点(-160, -80)看到的立体效果，就等效于在相机点(0,0)看到的把layer平移(160, 80)的立体效果.对一个layer来说，只要没有修改anchorPoint，系统所认为的内部相机点的投影是在anchorPoint这个位置，也就是相机点的(0,0)位置。因此要看到layer在相机点(-160, -80)透视投影的效果，只能先作平移变换，让相机点与layer做相同的平移使相机点移到(0,0), 完成透视投影后再平移回去。
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相应的代码为：
CATransform3D rotate = CATransform3DMakeRotation(M_PI/6, 0, 1, 0);
image.layer.transform = CATransform3DPerspect(rotate, CGPointMake(0, 0), 200);
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图中PQ为旋转后的图像在X-Z平面上的投影，相机点在O点，从O点看过过，P、Q两点在X轴上的投影为C、D点，C、D两点相对P、Q点在X轴上的原始位置都是靠左的，这也就解释了旋转后的透视投影效果左边界超出了屏幕，右边界在屏幕之内。
上图中A、B两点是O点在无穷远处所看到的P、Q两点在X轴上的投影，也就是我们在第二张图片上看到的效果。这是因为在无穷远处，观察P、Q时已经失去了近大远小的效果，所做的投影是正交投影。
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立方体效果
CATransform3D可以使用CATransform3DConcat函数连接起来以构造更复杂的变换, 通过这些方法，可以组合出更多的效果来。下面是个翻转的动画, 使用四张同样大小的图片围成一个框，让这个框动画旋转, 形成一个立方体旋转的效果。
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相关实现的代码：
CATransform3D move = CATransform3DMakeTranslation(0, 0, 160);
CATransform3D back = CATransform3DMakeTranslation(0, 0, -160);
CATransform3D rotate0 = CATransform3DMakeRotation(-angle, 0, 1, 0);
CATransform3D rotate1 = CATransform3DMakeRotation(M_PI_2-angle, 0, 1, 0);
CATransform3D rotate2 = CATransform3DMakeRotation(M_PI_2*2-angle, 0, 1, 0);
CATransform3D rotate3 = CATransform3DMakeRotation(M_PI_2*3-angle, 0, 1, 0);
CATransform3D mat0 = CATransform3DConcat(CATransform3DConcat(move, rotate0), back);
CATransform3D mat1 = CATransform3DConcat(CATransform3DConcat(move, rotate1), back);
CATransform3D mat2 = CATransform3DConcat(CATransform3DConcat(move, rotate2), back);
CATransform3D mat3 = CATransform3DConcat(CATransform3DConcat(move, rotate3), back);
image0.layer.transform = CATransform3DPerspect(mat0, CGPointZero, 500);
image1.layer.transform = CATransform3DPerspect(mat1, CGPointZero, 500);
image2.layer.transform = CATransform3DPerspect(mat2, CGPointZero, 500);
image3.layer.transform = CATransform3DPerspect(mat3, CGPointZero, 500);
解析：要形成一个立方体旋转的效果，首先需要构造出一个立方体出来，怎么构造呢？在这个例子里构造的立方体是前后左右四个面的，如果把屏幕当做立方体的“前”面，它的“左”、“后”、“右”面我们是看不见，但是这三个面可以通过“前”面旋转一个角度得到的：以立方体的中心点为支点，将“前”面分别顺时针旋转90度、180度、270。因为屏幕宽度为320，这个立方体的中心点应在屏幕中心点后方160px的地方。
现在需要解决的一个问题就是：怎么实现以立方体的中心点为支点的旋转。我们知道，在CALayer中layer的旋转是以anchorPoint为支点的，而这个anchorPoint并没有在z轴上的维度，所以修改anchorPoint是不可能的，怎么办呢？答案还是通过平移实现，虽然不能修改anchorPoint，但我们可以改变图片的位置，将图片往z轴正方向(靠近用户的方向)平移160px的距离，这时候图片与anchorPoint的相对位置，就等同于图片在原始位置与立方体中心的相对位置，它们所进行的旋转效果是相同的，只是在z轴上的绝对距离不同。旋转完成后，再平移回去，即可达到绕立方体的中心点旋转的效果。这也是变换矩阵mat0为什么要先进行z轴正方向160px平移，执行rotate0旋转之后又进行z轴负方向160px平移的缘故。
要实现旋转动画，就需要动态改变这个立方体的绕y轴的角度，在这个例子里就是添加了一个动态变化的angle达到这个目的。另外注意此例的旋转是绕y轴旋转的，根据此前一篇文章的判断方法，此时旋转的正方向应该是z轴正方向顶点指向x轴正方向顶点，从用户眼睛看来就是逆时针。如果angle是递增的，那么-angle就是递减的，因此实际看到的旋转动画会是顺时针的
也许分析完又有了疑问,对一个layer做平移，会修改它的anchorPoint和position吗？很显然，对旋转和绽放必须要有一个固定的支点，感觉上平移不需要支点也行，是不是就会修改anchorPoint呢？答案是否定时，简单做一下测试，就知道layer在做平移时，anchorPoint和position都不会改变，frame会变化，说明frame不仅受anchorPoint和position影响，还受translation影响.
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