同方差性与异方差性

一个通俗的解释：

描述教育水平与收入的关系的计量模型 income = b*education + e，（e为残差）；

OLS等传统计量框架要求残差e不与任何变量相关,即: E(e|x)=0

而常见的残差e与x相关的方式是: 残差e的方差与变量x相关；这时候, 残差e的方差会随着x变动而变动,因此方差是异质性的. 这被称为异方差问题。

异方差问题会导致什么?

如上面的例子：

由于工资法的存在，受教育水平越高的人群收入变动越大,而教育水平较低的人群收入相差不会太大。

这时就出现异方差问题了, 因为e的方差会随着教育水平x的增大而增大。

教育水平与收入水平

异方差存在的时候,大多数情况下,OLS估计出的方差会比实际的方差要小。这会过高地估计系数b的显著性 (因为, 系数的t值=系数/标准差)，而不会影响系数估计值的大小。

同方差性是我们对OLS回归残差的一个要求，即简单的说就是残差必须是随机的，这个分布是我们用来描述随机分布的一种方法：均值为0，方差为sigma方。

异方差则说明残差不满足这个正态分布。

概括而言，同方差说明回归的残差项是随机的，异方差说明残差项不随机，你的回归设置或者变量的选取有问题，需要修正。

举个例子：

研究储蓄问题，收入低的人和收入高的人的储蓄其概率分布肯定不一样，想想穷学生和富大款，他们在决策储蓄这事上肯定不一样，当然富大款不一定储蓄就比穷学生多，可能还是负值，因为可以借债，但是穷学生借债就有限，形象点说，收入高的人的储蓄概率分布可能更广一点，因此方差比较大，如果穷学生和富大款都在同一组样本中，就会出现异方差。