浮点数

引言

在 c 以及一些语言中，为什么 0.1 + 0.2 = 0.30000000000000004？

IEEE784

在1985年，由Intel公司赞助，由William kahan制定的表示浮点数及其运算的标准，目前，所有计算机都支持该标准。

1. IEEE浮点表示
   v = (-1)^s * M * 2^E
   • s是符号位，共一位，1为负数，0为正数，而数值0的符号位另外说明。
   • E是比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数，也称为阶码。单精度(32位)有8位，双精度(64位)有11位。
   • M称为浮点数的尾数，是一个纯小数，单精度(32位)有23位，双精度(64位)有52位。

32位浮点数表示

2. 浮点数的存储(以32位为例)

   
   浮点数存储

   • S：首位，符号位 。

   • E ：阶码，用移码表示(将负数和正数都移动到正数区间，在浮点数比较的时候就可以免除符号位的比较，简化了操作)，且移码为127（单精度），1023（双精度）。计算机中存储的都是阶码的移码，比如e为3时，实际存储E=3+127=130的二进制表示。

     为什么移码为127（1023）？
     1、8位移码的取值范围为0-255（00000000-11111111），但在浮点数的阶码中，全0（表示0与接近0的数）与全1（表示无穷与NAN）被保留用作特殊情况，所以阶码可用范围只有1~254，总共有254个值。
     2、8位有符号数取值范围为（-128）-（+127）（10000000~01111111），这里的二进制用补码表示，其中特别规定补码10000000没有原码，为-128的补码，总共有256个值。
     3、按照移码的一般习惯，如果采用偏置2^(k-1) (2⁷=128)，在表达+127时会产生上溢（移码11111111被保留），所以在阶码中偏置为（128-1），与此同时，在表达-127时会产生下溢（移码00000000被保留），所以阶码中去掉-127与-128，取值范围为(-126~127)->(1-254)，总共254个值。

   • M：尾数，IEEE规定，当尾数的值不为0时，尾数域的最高有效位应为1，这称为浮点数的规格化表示。否则以修改阶码同时左右移动小数点位置的办法，使其变成规格化数的形式，。

     如果是一个规格化(阶码不是全0或全1)的浮点数，其中尾数域所表示的值必然是1.M，为了提高精度，又由于规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是1，故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。于是用23位字段可以存储24位有效数。 所以float类型的十进制的精度为log₁₀(2²⁴)≈7位，同理double类型精度为log₁₀(2⁵³)≈15位

3. 浮点数的取值范围
   根据阶码的值，将浮点数的编码值分成三种，分别是规格化值、非规格化值、无穷大(这种情况包含NaN)。

   • 规格化值：阶码不为0或255（1-254）。

   当阶码和尾数都取最小时（E=1，M=0），表示的数值最小，阶码部分为 1 − 127 = − 126 ，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位0，最小正数值为1*2^-126。当阶码和尾数都取最大时（E=254，M全1），表示的数值最大，阶码部分为 254 − 127 = 127，尾数部分为 隐含的1加上其余的23位1，最大正数为(2−2 ⁻²³ )×2 ¹²⁷

   格式	正数	负数
   单精度	2-126到(2−2 −23 )×2 127	-2-126到-(2−2 −23 )×2 127
   双精度	2-1022到(2−2 −52 )×2 1023	-2-1022到-(2−2 −52 )×2 1023

   • 非规格化值，IEEE规定，当阶码全为0时，为非规格化值，此时的尾数为本身值，不必像规格化值去缺省加上开头的1，这样做是为了能表示0值，所以我们可以看出，当尾数全为0时，阶码全为0是，这就是0值（包括+0和-0）。

   为了提供一种规格化值到非规格化值的平滑过渡，IEEE规定非规格化值的阶码为1-移码(127或1023)，所以当尾数全为1时最大值为(1-2^-23)2^-126，仅仅比规格化数的值小了一个能够表示的最小值(2^-23)，这就是开头提到的平滑过渡。故而非规格化值范围是
   -(1-2^-23)2^-126到(1-2^-23)*2^-126

   • 当阶码全为1时，表示特殊值。

   如果尾数全为0，表示无穷大，如果位数不为0，表示NaN。

   • 非负浮点数值范围如下所示:

     
     非负浮点数示例

4. 浮点数的舍入。
   因为表示方式限制了浮点数的范围和精度，所以在精度溢出时，需要做舍入操作。IEEE设计了四种舍入方式：

   • 向零舍入，也就是向数轴0方式舍入，比如1.5舍入为1，-1.5舍入为-1。
   • 向下舍入，往值更小的方向舍入。
   • 向上舍入，往值更大的方向舍入。
   • 向偶舍入(round-to-even)，也叫向最接近的值舍入，IEEE默认采用这种舍入方式。

   舍入规则是向最接近的数舍入，当数处于中间值是，向尾数是偶数的方式舍入，比如我们要舍入到两位有效数的二进制
   10.00110₂ => 10.01₂ （2位有效数字后为110，超过了一半(一半为100)，故向最近(上)舍入），类似1.6舍入为2。
   10.00011₂ => 10.00₂ （2位有效数字后为011，没有超过一半(一半为100)，故向最近(下)舍入），类似1.4舍入为1。
   10.11100₂ => 11.00₂ （2位有效数字后为100(中间值)，，故向偶舍入（使得最后一位为偶数0），这里选择向上舍入，类似1.5舍入为2。
   10.10100₂ => 10.10₂ （2位有效数字后为100(中间值)，，故向偶舍入（使得最后一位为偶数0），这里选择向下舍入，类似2.5舍入为2。

   这种向最近值舍入的方式减小了舍入数据的误差，例如，当我们舍入一组数据时，采用向上舍入的方式会使得这组数据偏大，向下舍入则会使得数据偏小，而向偶舍入可以减小误差。

5. 十进制数的浮点表示示例（100.25）。

   • 进制转换：100.25₁₀ = 1100100.01₂
   • 规格化处理：1100100.01 = 1.10010001×2⁶
   • 计算阶码：E = 6 +127 = 133 （10000101）
   • 符号位0，尾数10010001000000000000000（缺省首位1）
   • 二进制表示：0 10000101 10010001000000000000000

6. 浮点数的计算
   浮点数的加减运算一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断

   • 对阶：是指将两个进行运算的浮点数的阶码对齐的操作，对阶的目的是为使两个浮点数的尾数能够进行加减运算，对阶的原则是小阶对大阶。即小阶加上差值，并尾数右移相应的尾数保存数值不变。
   • 尾数计算：对阶后的尾数相加减。
   • 规格化：计算完成的数转换成规格化浮点数，左规操作：将尾数左移，同时阶码减值，直至尾数成为1.M的形式，右规操作：将尾数右移1位，同时阶码增1，便成为规格化的形式了。
   • 舍入处理：在对阶或右规时，尾数需要右移，被右移出去的位会被丢掉，从而造成运算结果精度的损失。为了减少这种精度损失，可以将一定位数的移出位先保留起来，称为保护位，在规格化后用于舍入处理（采用向偶舍入）。
   • 溢出判断：若阶码的值超过了阶码所能表示的最大正数，则为上溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正上溢，记为+∞，若浮点数为负数，则为负上溢，记为-∞；若阶码的值超过了阶码所能表示的最小负数，则为下溢，进一步，若此时浮点数为正数，则为正下溢，若浮点数为负数，则为负下溢。正下溢和负下溢都作为0处理。

7. 0.1+0.2=0.30000000000000004

   • 将二进制的0.1和0.2转换成指数形式
     十进制：0.1
     二进制形式：0.00011001100110011001100（1100循环）
     指数形式：1.10011001100110011......2^-4
     二进制表示：0-01111111011-1001100110011001100110011001100110011001100110011010
     十进制：0.2
     二进制形式：0.001100110011001100110011......
     指数形式：1.100110011001100110011......2^-3
     二进制表示：0-01111111100-1001100110011001100110011001100110011001100110011010

双精度数尾数保留52位，所以无限循环小数需要做舍入，只保留52位小数（就是第53位以后全部舍弃，第53位“0舍1入”，而当第52位为1时，还得再进一位）

对阶相加得到:10.0100100100100100100100100100100......100111，但是此时得到的数指数依然是指数形式，要将它转换成为二进制形式，就是将小数点向前移三位变成0.01001001001001001001001.....00111

然后将这个数转换为十进制数就是0.30000000000000004