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2019-05-10

2019-05-10

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-05-11 20:36 被阅读0次
  • 2FSK
  • \Large 2FSK 二进制频移键控
  • 用正弦载波的不同频率表示二进制比特。产生方法可以键控法（信号不连续）或调频法（信号连续）
  • s_{2FSK} = A\cos[\omega_ct+2\pi K_f\int_{-\infty}^{t}b(\tau)d\tau]
  • 瞬时频率与基带信号成正比
  • \frac{1}{2\pi }\frac{d}{dt}\varphi(t) = K_fb(t)
  • \varphi(t) = 2\pi K_f \int_{-\infty}^{t}b(t)dt
  • 调频法得到的FSK也叫做2CPFSK,CP是连续相位
  • 相位连续2FSK信号的功率谱密度旁瓣按\frac{1}{f^4}衰减
  • 相位连续2FSK信号的功率谱密度旁瓣按\frac{1}{f^2}衰减
  • 2CPFSK家族中最著名的是MSK,GMSK,GMSK是GSM系统所用的调制方式。
  • 2CPFSK属于有记忆调制，键控产生的2FSK是无记忆调制。
  • 2FSK
    • 在[0,T_b]时间内，2FSK发送两种波形s_1(t) = A\cdot \cos(2\pi f_1t)和s_2(t) = A\cdot \cos(2\pi f_2t)之一，1和0自己规定。
    • s_{FSK}(t) = \begin{cases}s_1(t) = A\cos(2\pi f_1 t)\\s_2(t) = A\cos(2\pi f_2 t) \end{cases},0\leq t\leq T_b
    • 定义f_c = \frac{f_1+f_2}{2},\Delta f = \frac{f_1-f_2}{2}
  • 两个信号的相关系数定义为能量归一化后的内积
  • 2FSK的两个波形s_1(t) = A\cdot \cos(2\pi f_1 t)和s_2(t) = A\cdot \cos(2\pi f_2t)的能量相同：E_1 = E_2 = \frac{A^2T_b}{2} = E_b
  • 相关系数为
    • \rho_{12} = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}}\cdot \frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2}}dt = \frac{1}{E_b}\int_{0}^{T_b}\{A\cos2\pi f_1 t\cdot A\cos 2\pi f_2 t\}dt
    • = \frac{1}{T_b}\int_{0}^{T_b}[\cos4\pi \Delta ft+\cos4\pi f_c t]dt = sinc(4\pi \Delta f T_b)+sinc(4\pi f_c T_b)
  • 若比特周期T_b是载波周期T_c = \frac{1}{f_c}的整数倍，sinc(4\pi f_cT_b) = 0，相关系数为\rho_{12} = sinc(4\pi \Delta fT_b) = sinc [2(f_1-f_2)\pi T_b]
  • 一般情况下，载波频率f_c远大于比特速率R_b，此时f_cT_b>>1,近似有sinc(4\pi f_c T_b) \approx 0，相关系数近似为\rho_{12}\approx sinc(4\pi \Delta f T_b) = sinc[2\pi (f_1-f_2)T_b]
  • 当频差f_1-f_2是\frac{R_b}{2} = \frac{1}{2T_b}的整数倍时，两个波形正交，满足正交的最小频差是\frac{1}{T_b}
  • 频差足够大，两个波形s_1(t),s_2(t)将趋于正交。本章默认是正交FSK
  • 相位不连续2FSK信号的频谱
  • 假设两个载波f_1,f_2是由独立振荡器产生的，此时它们的初相位\theta_1,\theta_2可建模为在[0,2\pi]内均匀分布的独立随机变量。
  • \begin{cases}c_1(t) = \cos(2\pi f_1t+\theta_1)\\c_2(t) = \cos(2\pi f_2 t+\theta_2)\end{cases},-\infty<t<\infty
  • 无穷时间-\infty<t<\infty内，两个OOK信号是
  • \begin{cases}s_{OOK1}(t) = b(t)\cos(2\pi f_1t+\theta_1)\\s_{OOK2}(t) = \overline{b}(t)\cos(2\pi f_2t+\theta_2)\end{cases}
  • 2FSK信号是s_{2FSK}(t) = s_{OOK1}(t)+s_{OOK2}(t)
  • 求互相关函数可知这两个OOK信号不相关，此时2FSK的功率谱密度是这两个OOK功率谱密度之和。
  • 2FSK的主瓣带宽是|f_1-f_2|+2R_b
  • 2FSK信号的解调
  • 2FSK是两个OOK叠加，其解调可以用两个OOK的解调合并而成。
    • 若OOK采用带通匹配滤波器接收，则2FSK的相应的解调器为
      • h_1(t)对s_1(t)匹配，h_2(t)对s_2(t)匹配：
      • \begin{cases} h_1(t) = s_1(T_b-t)\\h_2(t) = s_2(T_b-t)\end{cases}
    • 每个支路也可以采用等价的相关器，相应的2FSK解调器为
      • 两个采样值是\begin{cases} y_1 = \int_{0}^{T_b}[as_1(t)+n_w(t)]s_1(t)dt \\ y_2 = \int_{0}^{T_b}[(1-a)s_2(t)+n_w(t)]s_2(t) dt \end{cases}
      • \begin{cases}y_1 = a E_b +Z_1\\ y_2 = (1-a)E_b+Z_2 \end{cases}
  • 其中a = 1或0对应发送s_1(t)或s_2(t)，E_b = E_1= E_2 = \frac{A^2T_b}{2}是比特能量，Z_1,Z_2是高斯白噪声与s_1(t)和s_2(t)的内积。
  • \begin{cases}Z_1 = \int_{0}^{T_b}s_1(t)n_w(t)dt\\ Z_2 = \int_{0}^{T_b}s_2(t) n_w(t)dt \end{cases}
  • 对于正交2FSK，Z_1,Z_2是独立同分布的零均值高斯随机变量，方差是\frac{N_0}{2}E_b
  • 判决器的输入是l = y_1-y_2 = (2a-1)E_b+(Z_1-Z_2) = dE_b+Z
  • 其中d = 1或-1对应发送s_1(t)或s_2(t)，Z = Z_1-Z_2是均值为零，方差为\sigma^2 = N_0E_b的高斯随机变量。
  • 默认假设s_1(t),s_2(t)等概出现，则最佳门限是无噪声情况下l的两种取值(+E_b和-E_b)的中点，V_T = 0
  • 发送s_2(t)时，若l = -E_b+Z>0则判决出错，出错的概率是P(e|s_2) = P(Z>E_b) = \frac{1}{2}erfc(\frac{E_b}{\sqrt{2\sigma^2}}) =\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}})
  • 根据对称性可知P(e|s_1) = P(e|s_2)，平均误比特率为P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}})
  • 2FSK非正交的情形
  • 前面假设2FSK是正交的，现在考虑非正交的情况
  • \rho = \int_{0}^{T_b}\frac{s_1(t)}{\sqrt{E_1}}\cdot \frac{s_2(t)}{\sqrt{E_2}}dt = \frac{1}{E_b} \int_{0}^{T_b}s_1(t)\cdot s_2(t)dt
  • \int_{0}^{T_b}s_1(t)\cdot s_2(t)dt = \rho E_b
  • \rho = 0是正交
  • l = y_1-y_2 =\int_{0}^{T_b}r(t)\cdot s_1(t)dt-\int_{0}^{T_b}r(t)\cdot s_2(t)dt = \int_{0}^{T_b}r(t)\cdot [s_1(t)-s_2(t)]dt
  • 令g(t) = s_1(t)-s_2(t)，其能量为E_g =\int_{0}^{T_b}[s_1(t)-s_2(t)]^2dt = E_1-E_2-2\rho E_b =2E_b(1-\rho)
  • 输入l的噪声是零均值高斯随机变量，其方差是\sigma^2 = \frac{N_0}{2}E_g = N_0E_b(1-\rho)
  • 分析有用信号，不管噪声
  • 发送s_1(t)时
    • l = \int_{0}^{T_b}s_1(t)\cdot [s_1(t)-s_2(t)]dt = E_b-\rho E_b = E_b(1- \rho)
  • 发送s_2(t)时
    • l = \int_{0}^{T_b}s_2(t)\cdot [s_1(t)-s_2(t)]dt = \rho E_b-E_b = -E_b(1- \rho)
  • 则最佳门限是无噪声情况下l的两种取值的中点，V_T = 0
  • 发送s_2(t)时若l =-E_b(1- \rho)+Z>0则判决出错，出错概率是Z>E_b(1- \rho)的概率：
    • P(e|s_2) = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1- \rho)}{2N_0}})
  • 由对称性可知P(e|s_2) = P(e|s_1)=\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1- \rho)}{2N_0}})
  • 平均误比特率是P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1- \rho)}{2N_0}})
  • 正交2FSK就是\rho = 0的情况
  • 若s_1(t)与s_2(t)的能量不等分别是E_1和E_2
  • 平均误比特率是P_b = \frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b}{2N_0}(1-\rho \frac{\sqrt{E_1E_2}}{E_b})})
  • \rho可以为负，这时误比特率更小
  • 2FSK非相干解调
  • 缺点是频带利用率低，优点可以恒包络调制，非相干解调
  • 方法一，两个支路的OOK解调采用恒包络检波，误比特率性能比相干解调略差。

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