(六) 概率算法

作者: Tenloy | 来源:发表于2020-04-10 09:44 被阅读0次

# 概述

前面所讨论算法的每一计算步骤都是确定的，而本次所讨论的概率算法允许算法在执行过程中随机地选择下一个计算步骤。在许多情况下，当算法在执行过程中面临一个选择时，随机性选择常比最优选择省时。因此概率算法可在很大程度上降低算法的复杂度。

概率算法的一个基本特征是对所求解问题的同一实例用同一概率算法求解两次可能得到完全不同的效果。这两次求解所需的时间甚至所得到的结果可能会有相当大的差别。一般情况下，可将概率算法大致分为四类：数值概率算法、蒙特卡罗(MonteCarlo) 算法、拉斯维加斯(Las Vegas) 算法和舍伍德(Sherwood) 算法。

## 随机数

随机数在随机化算法设计中扮演着十分重要的角色。在现实计算机上无法产生真正的随机数，因此在随机化算法中使用的随机数都是一定程度上随机的，即伪随机数。
线性同余法是产生伪随机数的最常用的方法。由线性同余法产生的随机序列 $a0,a1,…,an$ 满足

$\left\{ \begin{array}{lcl} a_0 = d\\ a_n = (ba_{n-1} + c)modm & {n=1,2,...}\\ \end{array} \right.$

其中 $b≥0,c≥0,d≤m$ 。d称为该随机序列的种子。如何选取该方法中的常数b、c和m直接关系到所产生的随机序列的随机性能。这是随机性理论研究的内容，已超出本书讨论的范围。从直观上看，m应取得充分大，因此可取m为机器大数，另外应取 $gcd(m,b)=1$ ，因此可取b为一素数。

为了在设计概率算法时便于产生所需的随机数，建立一个随机数类RandomNumber：该类包含一个需由用户初始化的种子randSeed。给定初始种子后，即可产生与之相应的随机序列。种子randSeed是一个无符号长整型数，可由用户选定也可用系统时间自动产生。函数Random的输入参数 $n≤65536$ 是一个无符号长整型数，它返回 $0~(n-1)$ 范围内的一个随机整数。函数fRandom返回[0，1) 内的一个随机实数。

# 数值概率算法

数值概率算法常用于数值问题的求解。这类算法所得到的往往是近似解。且近似解的精度随计算时间的增加而不断提高。在许多情况下，要计算出问题的精确解是不可能的或没有必要的，因此用数值概率算法可得到相当满意的解。

# 舍伍德（Sherwood)算法

舍伍德算法总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。

当一个确定性算法在最坏情况下的计算复杂性与其在平均情况下的计算复杂性有较大差别时

可在这个确定性算法中引入随机算法将它改造成一个舍伍德算法，比如，快速排序时，基准的选择可以使用随机算法得到。
对于不能直接改造的，可以引入随机预处理，即对输入进行随机洗牌。比如，对于通常的排序、查找算法，可以先对待排序、查找的序列进行随机位置置换（洗牌）。

舍伍德算法就是一种利用随机算法改造确定性算法，消除或减少问题的好坏实例间的这种差别。舍伍德算法精髓不是避免算法的最坏情况行为，而是设法消除这种最坏情形行为与特定实例之间的关联性。

思想：利用随机算法改造已有算法，使得算法的性能尽量与输入数据无关，即平滑算法的性能。它总能求得问题的一个解，且求得的解总是正确的。

算法的性能 =平均性能 + 一个很小的随机值。舍伍德算法是为了得到好的平均性能。

一个算法，对于不同的输入数据，其算法的性能是不一样的。比如快排算法，每次选择第一个元素作为基准，对序列从小到大排序：

平均情况：如果待排序列无序，则算法时间复杂度为 $O(nlogn)$ ；
最坏情况：如果序列有序（正序或逆序），则算法时间复杂度为 $O(n^2)$

# 拉斯维加斯（Las Vegas)算法

不一定能给出解，给出则必正确

拉斯维加斯算法不会得到不正确的解。一旦用拉斯维加斯算法找到一个解，这个解就一定是正确解。但有时用拉斯维加斯算法会找不到解。

与蒙特卡罗算法类似，拉斯维加斯算法找到正确解的概率随着它所用的计算时间的增加而提高。对于所求解问题的任一实例，用同一拉斯维加斯算法反复对该实例求解足够多次，可使求解失效的概率任意小。

# 蒙特卡罗（MonteCarlo)算法

蒙特卡罗算法能求得问题的一个解，但这个解未必是正确的。

蒙特卡罗算法用于求问题的准确解。对于许多问题来说，近似解毫无意义。例如，一个判定问题其解为“是”或“否”，二者必居其一，不存在任何近似解答。又如，我们要求一个整数的因子时所给出的解答必须是准确的，一个整数的近似因子没有任何意义。

用蒙特卡罗算法能求得问题的一个解，但这个解未必是正确的。求得正确解的概率依赖于算法所用的时间。算法所用的时间越多，得到正确解的概率就越高。蒙特卡罗算法的主要缺点也在于此。一般情况下，无法有效地判定所得到的解是否肯定正确。

在实际应用中常会遇到一些问题，不论采用确定性算法或随机化算法都无法保证每次都能得到正确的解答。蒙特卡罗算法则在一般情况下可以保证对问题的所有实例都以高概率给出正确解，但是通常无法判定一个具体解是否正确。

设p是一个实数，且1/2<p<1。如果一个蒙特卡罗算法对于问题的任一实例得到正确解的概率不小于p，则称该蒙特卡罗算法是p正确的，且称p-1/2是该算法的优势。
如果对于同一实例，蒙特卡罗算法不会给出2个不同的正确解答，则称该蒙特卡罗算法是一致的。

有些蒙特卡罗算法除了具有描述问题实例的输入参数外，还具有描述错误解可接受概率的参数。这类算法的计算时间复杂性通常由问题的实例规模以及错误解可接受概率的函数来描述。

参考链接：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/07/monte-carlo-method.html

# 经典运用：

数值概率算法的应用

随机投点法计算π
计算定积分
解非线性方程组

舍伍德算法的应用

线性时间选择算法
搜索有序表
跳跃表

拉斯维加斯算法的应用

n后问题
整数因子分解

蒙特卡罗算法的应用

主元素问题
素数测试

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