三维向量点乘 叉乘原理和游戏应用

A表示向量 a表示线段长度

image.png

//向量计算公式
A = (x,y,z);
B = (i,j,k);

A · B = x * i + y * j + z * k;(数学计算方式)

图中可以看出 C向量计算方式如下：
C = A -B;
同时平方展开
|C|^2 = |A|^2 + |B|^2 - 2A·B;
c^2 = a^2 + b^2 - 2A·B;

图中通过三角形余弦定理：可以获取到
c^2 = a^2 + b^2 - 2 |a| |b| cosθ

上面两个方程 联合使用可以得到

A·B = |a| |b| cosθ
θ = arccos(A·B/|a| |b|)
应用场景： 敌人和玩家 两三维个点 计算敌人需要旋转多少度可以面向敌人 （缺点:计算出来的角度小于180°.因为两个向量的夹角不会超过180°，如果顺时针超过180° 就会从逆时针方向计算角度）

二维向量叉乘的定义

A = (x,y)
B = (m,n)
A x B = 2x2的行列式 = x *n - y * m;

三维向量叉乘定义 i j k 分别代表笛卡尔坐标系中的 x y z 轴的单位向量

A = (a1,a2,a3)
B = (b1,b2,b3);

image.png

展开获得:
C = AxB = (a2 * b3 - a3 * b2,a1 * b3 - a3 * b1,a1 * b2 - a2 * b1);
可以看出两个向量叉乘后得到的是一个C向量 (使用左手定则快速判断C向量的方向)

几何意义:如下

image.png

C的模长 = A模长 * B模长 * sinθ ；
（通过这个公式 也可以计算两个向量的家度缺点这个角度小于等于90度）

游戏中的应用场景:

1.解决向量点乘无法计算超过180°的问题

        Vector3 pos1 = new Vector3(10, 20, 30);
        Vector3 pos2 = new Vector3(50, 10, 5);
        //计算两个向量之间的角度
        //计算公式 cosθ = A·B/a*b  这里将他们转化成单位向量 a = b = 1 就不用除了
        float cosθ = Vector3.Dot(pos1.normalized, pos2.normalized);
        //反三角函数获取到弧度
        float θ = Mathf.Acos(cosθ);
        //将弧度转化成角度
        float angle = θ * Mathf.Rad2Deg;
        
        //计算两个三维向量的叉乘
        Vector3 pos3 = Vector3.Cross(pos1, pos2);
        //小于零说明 叉乘结果向量向下 pos1->pos2的顺时针角度大于180度
        if (pos3.y<0) 
        {
            //获得大于180°的角
            angle = 360 - angle;
        }

2.获取一个向量垂直已知的两个向量
3.判断两个向量的顺逆时针关系