【数据结构】树状数组

讲到了线段树，那就顺便讲讲树状数组吧。

问题：

• 一个固定大小 n 的有限数组 x
• action 1 : 可以随时更新某个节点 i 的元素
• action 2 : 可以查询某个区间 [i, j] 内所有元素的和

线段树

假设一个长度为 12 的线段树，构建结果如下：

构建线段树

在区间求和问题上，在叶子节点，显然划线部分的值可以由父亲节点 - 左端叶子节点得到。

那么，这部分信息就是冗余的，没有保存的必要。

对于区间求和问题，划线部分是冗余的

同理，可以推导出所有冗余的部分如下：

同理，所有的冗余部分

那么，去除冗余部分后的结果如下：

去除冗余部分

给每一个节点一个编号。

我们假设 i 为每个节点的编号， L[i] 为该节点包含多少个元素的信息（就是区间内的元素之和）。

可以得到如下表格。

序号，元素个数，二进制表示

再来看看其二进制表示：

每个节点序号和包含的元素个数

没看出规律？

我们来分析一下：

节点	节点二进制	父节点	父节点二进制	节点 -> 父节点
1	0001	2	0010	0001 + 0001 = 0010
2	0010	4	0100	0010 + 0010 = 0100
3	0011	4	0100	0011 + 0001 = 0100
4	0100	8	1000	0100 + 0100 = 1000
5	0101	6	0110	0101 + 0001 = 0110
6	0110	8	1000	0110 + 0010 = 1000

以上增加的值对应表中的 L[i]。

从上可以看出当前节点 i 的父节点是 i+(i的“最低位1”)，一般称之为低位技术：L[i] = i & (-i)

那么 i 节点的父节点的序号为：i + L[i]

同样的规律，可以推算出 [1, i] 的值的第一个区间为 ：i - L[i]

接下来上代码：

    /* 
     * 假设树状数组为 T，长度为 n，序号 [1, ..., n]
     */
    
    // 低位技术
    #define LOWBIT(x)    ((x)&(-(x)))
    
    // 获取区间 [1, x] 的和
    int getSum(int x) {
        int ret = 0;
        for (int i = x; i > 0; i-=LOWBIT(x)) {
            ret += T[i];
        }
        return ret;
    }
    
    // 获取区间 [x, y] 的和
    int getSum(int x, int y) {
        return getSum(y) - getSum(x - 1);
    }
    
    // 更新第 x 点的值
    void updateOneNode(int x, int c) {
        for (int i = 0; i <= n; i+=LOWBIT(x)) {
            T[i] += c;
        }
    }