1、分治法

归并排序是完全遵循分治策略的排序算法。什么是分治法？

分治法，即将原问题分解为几个规模较小的子问题，递归的求解这些子问题，之后再合并这些子问题的解，最终得到原问题的解。

2、归并排序

归并排序遵照分治法的思想，可分为三个步骤：

分解，将大小为 $n$ 的数列分为两个大小为 $\frac{n}{2}$ 的子数列
使用归并排序递归排序子数列
合并已排序的子数列，完成原数列的排序

同时，我们知道递归不可能无线递归下去，当分解到基本情形的时候，我们可以直接获得该问题的答案，这也是递归的出口。如果一个问题永远无法递归到基本情形，则分治法不适用。

归并排序(merge sort)的基本情形为：子数列的大小为1时，此时数列天生已排序好，开始向上回溯。

归并排序

上图可见，排序数列 $(38,27,43,3,9,82,10)$ ，我们不断的分拆数列，直至每个子数列大小为1。然后，再将子数列两两归并，逐步回溯。最终，完成排序。

2.1 关键伪代码

以上对归并的描述可以总结以下步骤：

    merge-sort(A):
        if(A.length >= 1)
            array A divide into array L and array R
            merge-sort(L);
            merge-sort(R);
            merge(L,R);

可以看到,核心思想就是将数组A divide 成两个子数组，在对子数组进行归并。然后merge L和R两个子数组。

merge的核心伪代码如下：

for k in (1...A.length):
    if L[i] <= R[j]
        A[k] = L[i];
        ++i;
    else
        L[i] >= R[j]
        A[k] = R[j];
        ++j;

merge方法也是归并排序的核心部分，但是他的思想却很简单。

由于子数组L和R都是有序的，因此只需要逐个对比两个数组的元素，其中小的元素放进数组A中，直到数组A被填满为止。

2.2 代码实现(Java)

/**
 * @author: luzj
 * @date:
 * @description: 归并排序
 * 大致思想：
 * 0 将数组A拆成B和C
 * 1 对B和C单独排序
 * 2 合并B和C成一个有序数组
 * 3 B和C的排序方式同A，此为递归的基础
 */
public class MergeSort {

    /**
     * 排序
     * @param A
     * @param p
     * @param r
     */
    void sort(Integer[] A, int p, int r) {
        if (p < r) {//开始回归的基本条件，确保最小数组大小为1结束递归
            int q = Math.floorDiv(p + r, 2);
            sort(A, p, q);
            sort(A, q + 1, r);
            merge(A, p, q, r);
        }
    }

    /**
     * 合并两个子数组
     * 其实是将左右两个已经排序的子数组，进行原址排序
     * @param A
     * @param p 左边子数组的边界
     * @param q 左右子数组的分界点
     * @param r 右边子数组的边界
     * 该方法的增长率为：O(n)
     */
    void merge(Integer[] A, int p, int q, int r) {
        int n1 = q - p + 1;//左边子数组的元素个数
        int n2 = r - q; //右边子数组的元素个数

        //将A数组拆成两个数组来装
        Integer[] L = new Integer[n1 + 1];
        Integer[] R = new Integer[n2 + 1];
        for (int i = 0; i < n1; i++) {
            L[i] = A[p + i];
        }

        for (int j = 0; j < n2; j++) {
            R[j] = A[q + j + 1];
        }

        //哨兵，当某个子数组已经遍历完后还接着遍历时，哨兵将很好的阻止越界并且将遍历转向另一个子数组
        L[n1] = Integer.MAX_VALUE;
        R[n2] = Integer.MAX_VALUE;
        int i = 0, j = 0;

        //重排，每次都进行比较，将较小的装进A数组(如果是降序排列，则塞较大的)
        for (int k = p; k <= r; k++) {
            if (L[i] <= R[j]) {
                A[k] = L[i];
                i++;
            } else {
                A[k] = R[j];
                j++;
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] A = {5,2,4,7,1,3,2,6};
        new MergeSort().sort(A,0,A.length-1);
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            System.out.print(A[i]+" ");
        }
    }
}