写在前面的个人总结
回顾自己学图形学时，总结起来大致遇到三大难关，第一个难关是对“光”的理解（第五章，第八章的内容），涉及到光通量，光照强度，辐射率等概念，以及什么是BRDF，反射的积分公式；第二个难关是对“采样”的理解（第七章，第十章内容），为什么要采样，采样背后的信号处理的理论基础，纹理的采样速率如何确定等等问题。而第三大难关，就是本章要介绍的蒙特卡洛积分。涉及的知识主要是概率论，如何用抽样来求解积分问题。通过了“三大难关”后，我觉得图形学往后的学习就相对平坦多了。所以也可以说这是最后一个拦路虎了，加油!
什么是蒙特卡洛，听着名字感觉很高大上，它代表一种用随机抽样来得到某个问题的近似的思想。通常都会用一个简单的例子来介绍它，比如下图（图片来自《Ray Tracing The Rest of Your Life》），你想求一个圆的面积（假如你不知道π），那么你可以往这个正方形里面投放均匀随机的点，那么圆的面积和正方形面积的比，就等于在圆内部的点的数量（红色的点）和总数量（红色加橙色）的比。当投放的点越多，结果越接近真实的值：
在图形学中，蒙特卡洛主要是用来估算积分的。我们知道，有些积分公式是可以直接推导出解析解的，比如说积分∫2xdx，一眼就看出它的解析解为x2。但是有许多积分公式是无法直接求出解析解的，比如我瞎写的一个∫((sinx + x3) / tanx2)dx，你能暴力解出来吗？很不幸pbrt的一个主要任务，就是求解光反射的积分公式，回忆公式5.9，
f是BSDF公式，我们拿第八章的Torrance–Sparrow BRDF模型来看看它的样子：
看到这个公式基本已经没什么食欲了，如果再把D和G展开，可以想象有多么复杂。想要求它的解析解几乎是不可能的。但是蒙特卡洛方法可以另辟蹊径，用抽样的方法来得到它的近似值！
前言
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13.1 Background and Probability review（背景和概率论回顾）
主要是复习概率论中的几个重要概念，这里只简单罗列，不记得的建议看教材...
随机变量（random variable）
通常用X表示。
累计分布函数（cumulative distribution function）
简称CDF，一般用P(X)表示。
概率密度函数（probability density function）
简称PDF，一般用p(x)表示。PDF是CDF的导数：
均匀随机变量（canonical uniform random variable）
数学期望（Expected values）
如果随机变量x在它的定义域中以概率p(x)分布，那么f(x)的平均值可以用期望Ep[f (x)]表示，
方差（variance）
13.2 The Monte Carlo Estimator （蒙特卡洛估算器）
tip：这里最重要....
现在我们定义基本的蒙特卡洛估算器，它可以近似任意一个积分。
假设我们想估算一个1D积分∫abf (x) dx。如果我们有一个均匀分布的随机变量Xi ∊ [a, b]，那么蒙特卡洛估算器的定义为：
而估算器的数学期望，E[FN]，实际上就等于这个积分∫abf (x) dx。
证明如下，首先，PDF p(x)是均匀分布，也就是它等于1/(b − a)，因为p在[a, b]上必须是一个常数且总和为1。剩下的如下推导：
实际上，p(x)不需要限制一定为均匀分布，它其实可以是任意分布！（这也是后面重要性采样的关键）。如果随机变量Xi是从某个任意PDF p(x)分布中抽取的，那么估算器可以写为
p(x)的唯一限制是对于所有的|f(x)|>0的地方，p(x)非零。要证明这个估算器的期望等于积分同样不难：
13.3 Sampling Random Variables（采样随机变量）
回顾上一节的公式13.3中的p(x)分布可以是任意的，后面的重要性采样理论中会得到，p(x)和f(x)的形状越相似，那么用对应的估算器FN的方差收敛的越快。也就是说，如果我们从一个形状类似f(x)的分布p(x)中抽取样本，那么随着样本的增加，FN的值会快速逼近f(x)的积分。
但我们面临的问题一个问题是，怎么才能得到p(x)为任意分布的样本。我们的计算机是很容易产生均匀随机的样本的（比如c语言中的rand函数），但没有一个函数可以产生任意分布的样本，这需要我们自己想办法生成。而下面的Inversion method方法就可以做到。
13.3.1 The Inversion Method
inversion method可以把 均匀随机变量 映射到 我们想要的特定分布的随机变量。为了解释这个过程，我们用一个简单的离散随机变量的例子。
假设一个离散分布有四个随机的输出。每个输出的概率分别是p1，p2，p3和p4，它们的和是1。对应的PDF如图13.1：
为了从这个分布中得到样本，我们首先要找到CDF P(x)。在连续的情况下，P是p的不定积分。在离散的情况下，我们可以直接通过把每个方块从左到右堆起来，得到CDF。如图13.2：
注意最后边的方块必须等于1，因为所有概率的和为1.
为了从这个分布中得到一个样本，我们先产生一个均匀随机变量ξ，如图13.3，在垂直坐标，也就是CDF坐标上，根据随机变量ξ选择一个点，也就是说这个点是均匀且随机的，那么这个点往右延伸（虚线），那么虚线会击中这四个方块中的哪一个，这个事件发生的概率，正好就等于p1，p2，p3和p4。因为ξ是均匀分布的，那么击中方块的概率大小正比于方块的高度（方块长度越长击中的概率就越大），也就是它们的PDF。
具体一点，假如这四个方块对应的随机变量Xi分别是X1=1，X2=2，X3=3，X4=4，概率分别是p(X1)=0.2，p(X2)=0.3，p(X3)=0.4，p(X4)=0.1（它们的和必须为1），如果用上面的方法，先产生一个均匀随机变量的ξ=0.6，那么它正好击中的是第3方块（第3个方块的范围是0.5~0.9），那么最终的输出是X3=3。
对于连续分布的情况和离散类似，只是上面的方块变成了曲线，不再赘述。
这个方法就叫做inversion method（有点CDF的反函数的意思），具体的过程如下：
书中后面还举了几个例子，可以加深理解，在此不记录了。
13.3.2 The Rejection Method
后面好像没看到有应用，先跳过...
13.4 Metropolis Sampling（选读内容，跳过）
13.5 Transforming Between Distributions（分布之间的变换）
在描述inversion method的时候，我们介绍了把均匀随机分布转换为某种特定的分布的技术。在这里，我们将探索更通用的方法，把从任意一个分布中抽取的样本 变换为 另一个分布 的样本。
假设随机变量Xi是从某个PDF px(x)中抽取的。现在，如果我们计算Yi = y(Xi)，我们想知道新的随机变量Yi是服从什么分布。这看起来似乎是一个深奥的问题，但这是理解从multidimensional distribution（多维分布）函数中取样的关键。
函数y(x)必须是一对一的；如果多个x映射到相同的y值，那么不可能清楚的描述特定y值的概率密度。一对一的意思是y(x)必须是单调递增或单调递减的（也就是导数要么全部大于0，要么全部小于0），这意味着：
也就是
tip：注意上面这个等式很容易让人误解，Py(y)，Py(y(x))，Px(x)这三项的自变量都是x，也就是说，准确的说，Py(y(x))确实等于Px(x)，但Py和Px代表的是两个不同的映射，上面的等式会得出Py(y) = Px(x)，严格来说也不正确。如下图：
由CDF之间的关系可以直接导出它们PDF的关系。假设y的导数大于0，对两边求导得到：
因此
通常y的导数是严格为正或为负的，因此概率密度的关系为：
我们如何使用这个公式？假设px(x) = 2x，定义域为[0, 1]，然后让Y = sin X。那么随机变量Y的PDF是什么？因为我们知道dy/dx = cosx，然后：
通常我们想要某个分布，但是不知道变换（也就是说我们想要特定的Py(y)，但是不知道y(x)）。例如，我们想从某个分布px(x)中抽取随机变量X，以及从分布py(y)转给你抽取随机变量Y。我们应该使用哪个变换？我们所要做的就是利用Py(y(x)) = Px(x)（注意书中写的是Py(y) = Px(x)），得到：
这其实就是 inversion method 的通用版本，因为如果X是均匀随机分布，那么Px(x) = x，套入上面就会得到之前 inversion method 的结论。
后面13.6节的多维变换，包括半球均匀采样（13.6.1 Uniformly sampling a Hemisphere），采样一个单位碟形（13.6.2 Sampling a Disk），以余弦为权重采样半球（13.6.2 Cosine-weighted Hemisphere Sampling）等，都是很重要的内容，对我们理解如何通过均匀采样分布变换为我们想要的分布非常有用，但因书上讲的时间和篇幅问题，且书中已阐述的很清晰，在此不记录了。
13.7 Russian Roulette and Splitting（俄罗斯轮盘和分裂）
估算器F的效率
估算器F的效率定义为
其中V [F]是它的方差，T [F]是计算它的值所需要的时间。按照这个标准，如果估算器F1和F2产生的方差相同，但F1花更少时间，或者时间相同而F1的方差更小，那么F1就比F2更有效率。后面几个小节讨论一些提高蒙特卡洛效率的方法。
Russian roulette（俄罗斯轮盘）和splitting（分裂）是两种提高蒙特卡洛估算器效率的方法，它们通过提高那么对结果贡献更大的样本的概率，达到提高效率的目的。Russian roulette主要解决某些样本耗时很高但却对结果贡献很小的问题，而splitting则通过在重要的维度上生成更多的样本来提高效率。
俄罗斯轮盘
tip：书中举了一个direct lighting integral（直接光照积分）的例子来解释Russian roulette，因为直接光照是下一章的内容，我在此对直接光照的过程加了些解释，当然这是我个人的理解，不一定对。
例子：direct lighting integral就是只考虑场景中的光源的直接光，而不考虑其他物体反射的间接光（这个下一章才介绍）。如下公式，Lo是Ld（直接光源）的积分。
假设我们在分布p(ω) 上取两个采样点，蒙特卡洛积分器就是
为了更好理解，我描述下自己对直接光照过程的理解，如下图：
过程如下：
1.在某个分布p(ω)上取样，得到两个采样方向，ωi1和ωi2。
2.分别对ωi1和ωi2方向进行可见性检测，也就是判断沿着它们的方向是否会和光源相交（通常是tracing一条shadowing ray实现）。
3.若检测到与光源相交（比如图中的ωi1），那么就计算上面公式的fr(p, ωo, ωi)，Ld(p, ωi)等，得到最终的积分结果。
这里有两个点要注意。首先，进行可见性检测是很耗时的（当场景中物体忒多的时候），第二，如果采样的方向接近水平（比如图中的ωi2），fr(p, ωo, ωi)以及|cos θi|很小这两项会很小（也是说即使ωi2没有被物体挡住而与光源相交，它对整个结果的贡献也很小）。我们当然希望舍弃ωi2（这样可以省掉可见性检测的耗时，而不会对结果造成太大的影响）。但是我们不能简单粗暴的把ωi2扔掉（书中的解释是since the estimator would then consistently underestimate the correct result，我还不是特别明白）。而是使用Russian roulette的技术解决这个问题。
Russian roulette的方法是，选择一个termination probability q（终止概率）。这个概率会根据采样方向的积分值（主要是fr和cosθi的大小，也就是对结果的贡献）决定它的大小。当贡献较大时（比如ωi1），对应的q就小；相反（比如ωi2），q就大。然后，对每一个采样方向都进行一次随机选择（通过产生均匀随机变量ξ），当ξ<q时，就不再对这个采样方向进行可见性检测和计算积分了，而是用一个常量c替代（通常c等于0，也就相当于抛弃它了）。而当ξ>q时，就继续对它进行可见性检测和计算积分，只是添加一个权重1/(1 − q)。新的估算器如下：
新的估算器的数学期望和旧的是一样的：
对应上面那个图，ωi2的终止概率就相对比较大，也就是它被抛弃（被常量c替代）的概率很大，但是它仍有很小的概率会被采用，以保证新的估算器的期望是正确的。
书中最后也提出，Russian roulette并不能减少方差，有些情况下甚至会增大方差。它的主要作用是提高效率。
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