微积分-泰勒多项式

作者: 佐鼬鸣 | 来源:发表于2021-07-02 18:06 被阅读0次

先来看一个多项式
$(x^{3}+x^{2}+x+1) {\div} (x-1)$
我们使用综合除法,将以下多项式展开

第一步我们将被除数的每一项的系数写下来,将除数的系数写在 | 的后面
将第一项的系数挪到最先面来,然后将挪下来的系数乘上1的值写到第二项的下方
用第二项加上刚才得到的值写道--的下方，然后重复这个过程。

1      1      1      1  |  1
       1      2      3
------------------------
1      2      3   |  4

我们得到的结果是 $x^2+2x+3 ...4$
根据 除法原理 $F {\div} P = Q ... r$ $F = P * Q + r$
得到 $x^3+x^2+x+1$ $= (x^2+2x+3)(x-1)+4$
聪明的小伙伴有没有发现有意思的事情。
好，我们继续往下面走，你一定会大吃一惊。
如果我们将得到的商在除以 (x-1) 会得到什么呢？我们来做做看
$(x^2+2x+3) {\div} (x-1)$ $= (x + 3) ... 6$
我们在用除法原理将其改写得到下面的等式：
$(x^2+2x+3) = (x+3)(x-1)+6$
然后我们将上面这个等式的右边替换到我们之前的式子中得到：
$(x^{3}+x^{2}+x+1)$ $= (x^2+2x+3)(x-1)+4$ $= [(x+3)(x-1)+6](x-1)+4$ $= (x+3)(x-1)^2+6(x-1)+4$
我们根据前面的例子，可以将其写成如下等式
$= [(x-1)+4](x-1)^2+6(x-1)+4$ $= (x-1)^3+4(x-1)^2+6(x-1)+4$
这样我们就得到了一个看起来是用 (x-1) 写成的多项式，这个多项式的次数在一次递减，这种形式我们成为升幂排列，我们将其写成降幂排列如下
$4 + 6(x-1)+4(x-1)^2 + (x-1)^3$
我们得到的这个式子是以1 为参考点的泰勒形式，那有人可能会问了，写成这种形式又有什么用处呢？