2018-05-28 线性表

一、线性表：

1. 定义：由零个或多个数据元素组成的有限序列。

• 首先它是一个序列，也就是说元素之间是有个先来后到的，像刚才的小蝌蚪就没有顺序。
• 若元素存在多个，则第一个元素无前驱，而最后一个元素无后继，其他元素都有且只有一个前驱和后继。
• 另外，线性表强调是有限的，事实上无论计算机发展到多强大，它所处理的元素都是有限的。
• 若将线性表记为（a1,…,ai-1,ai,ai+1,…an）,则表中ai-1领先于ai,ai领先于ai+1,称ai-1是ai的直接前驱元素,ai+1是ai的直接后继元素。
• 所以线性表元素的个数n(n>=0)定义为线性表的长度，当n=0时，称为空表。

判断

• 公司的组织架构是否属于线性关系？
  不属于，一般公司的总经理管理几个总监，每个总监管理几个经理，每个经理都有各自的下属和员工。注意线性关系的条件是如果存在多个元素，则“第一个元素无前驱，而最后一个元素无后继，其他元素都有且只有一个前驱和后继。
• 班级里同学之间的友谊呢？
  不是，因为每个人都会跟许多同学建立纯纯的友谊关系。
• 情侣间的爱情关系呢？
  不是
• 一个班级里的点名册，是不是线性表？
  是

2. 数据类型
   是指一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称。
   例如很多编程语言的整型，浮点型，字符型这些指的就是数据类型。
3. 抽象
   是指抽取出事物具有的普遍性的本质。它要求抽出问题的特征而忽略非本质的细节，是对具体事物的一个概括。抽象是一种思考问题的方式，它隐藏了繁杂的细节。
   意义在于数据类型的数学抽象特性。
   描述抽象数据类型的格式：

ADT 抽象数据类型名
Data
数据元素之间逻辑关系的定义
Operation
操作
endADT

二、抽象数据类型

1. ADT 线性表（List）
2. Data
   线性表的数据对象集合为{a1,a2,…,an}，每个元素的类型均为DataType。其中，除第一个元素a1外，每一个元素有且只有一个直接前驱元素，除了最后一个元素an外，每一个元素有且只有一个直接后继元素。数据元素之间的关系是一对一的关系。
3. Operation
   InitList(*L): 初始化操作，建立一个空的线性表L。
   ListEmpty(L): 判断线性表是否为空表，若线性表为空，返回true，否则返回false。
   ClearList0(*L): 将线性表清空。
   GetElem(L,i,*e): 将线性表L中的第i个位置元素值返回给e。
   LocateElem(L,e): 在线性表L中查找与给定值e相等的元素，如果查找成功，返回该元素在表中序号表示成功；否则，返回0表示失败。
   ListInsert(*L,i,e): 在线性表L中第i个位置插入新元素e。
   ListDelete(*L,i,*e): 删除线性表L中第i个位置元素，并用e返回其值。
   ListLength(L): 返回线性表L的元素个数。
4. endADT
   基本实现：

void unionL(List *La, list Lb)
{
    int La_len, Lb_len, i;

    ElemType e;
    La_len = ListLength(*La);
    Lb_len = ListLength(Lb);

    for( i=1; i <= Lb_len; i++ )
    {
        GetElem(Lb, i, &e);
        if( !LocateElem(*La, e) )
        {
            ListInsert(La, ++La_len, e);
        }
    }
}

三、顺序存储结构

线性表有两种物理存储结构：顺序存储结构和链式存储结构。
物理上的存储方式事实上就是在内存中找个初始地址，然后通过占位的形式，把一定的内存空间给占了，然后把相同数据类型的数据元素依次放在这块空地中。

1. 顺序存储结构
   指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。
   线性表（a1,a2,…,an）的顺序存储如下：线性表有两种物理存储结构：顺序存储结构和链式存储结构。
   线性表的顺序存储结构，指的是用一段地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。
   线性表（a1,a2,…,an）的顺序存储如下：

   
   image.png
   

   对数组进行封装：

#define MAXSIZE 20    
typedef int ElemType;
typedef struct
{
ElemType data[MAXSIZE];
int length;    // 线性表当前长度
} SqList;

顺序存储结构封装需要三个属性：
存储空间的起始位置，数组data，它的存储位置就是线性表存储空间的存储位置。
线性表的最大存储容量：数组的长度MaxSize。
线性表的当前长度：length。
数组的长度与线性表的当前长度需要区分一下：数组的长度是存放线性表的存储空间的总长度，一般初始化后不变。而线性表的当前长度是线性表中元素的个数，是会变化的。

2. 地址计算方法

• 线性表的定义充分考虑到很多军师级别领导的智商指数，所以决定从1开始回归正常思维。
• 假设ElemType占用的是c个存储单元（字节），那么线性表中第i+1个数据元素和第i个数据元素的存储位置的关系是（LOC表示获得存储位置的函数）：LOC(ai+1) = LOC(ai) + c

LOC(ai) = LOC(a1) + (i-1)*c

通过这个公式，我们可以随时计算出线性表中任意位置的地址，不管它是第一个还是最后一个，都是相同的时间。那么它的存储时间性能当然就为0(1)，我们通常称为随机存储结构。
实现GetElem的具体操作：

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

typedef int Status;

// Status 是函数的类型，其值是函数结果状态代码，如OK等。
// 初始条件：顺序线性表L已存在，1 <= i <= ListLength(L)
// 操作结果：用e返回L中第i个数据元素的值。
// 判断：错误情况，否则把L中data相应的下标返回给e指针。
Status GetElem(SqList L, int i, ElemType *e)
{
    if( L.length==0 || i<1 || i>L.length )
    {
        return ERROR;
    }
    *e = L.data[i-1]
    return OK;
}

3. 获得元素操作

• 插入：

/* 初始条件：顺序线性表L已存在，1<=i<=ListLength(L)。 */
/* 操作结果：在L中第i个位置之前插入新的数据元素e，L长度+1。*/

Status ListInsert(SqList *L, int i, ElemType e)
{
    int k;
    if( L->length == MAXSIZE )  // 顺序线性表已经满了
    {
        return ERROR;
    }
    if( i<1 || i>L->length+1)   // 当i不在范围内时
    {
        return ERROR;
    }
    if( i <= L->length )   // 若插入数据位置不在表尾
    {
        /* 将要插入位置后数据元素向后移动一位 */
        for( k=L->length-1; k >= i-1; k-- )
        {
            L->data[k+1] = L->data[k];
        }
    }
    L->data[i-1] = e;  // 将新元素插入
    L->length++;
    return OK;
}

• 删除操作

/* 初始条件：顺序线性表L已存在，1<=i<=ListLength(L) */
/* 操作结果：删除L的第i个数据元素，并用e返回其值，L的长度-1 */
Status ListDelete(SqList *L, int i, ElemType *e)
{
    int k;
    if( L->length == 0 )
    {
        return ERROR;
    }
    if( i<1 || i>L->length )
    {
        return ERROR;
    }
    *e = L->data[i-1];
    if( i < L->length )
    {
        for( k=i; k < L->length; k++ )
        {
            L->data[k-1] = L->data[k];
        }
    }
    L->length--;
    return OK;
}

存取/在最后删除插入元素：O(1)
删除、插入：平均时间复杂度：O(n)

---

优点：
无须为表示表中元素之间的逻辑关系而增加额外的存储空间。
可以快速地存取表中任意位置的元素。
缺点：
插入和删除操作需要移动大量元素。
当线性表长度变化较大时，难以确定存储空间的容量。
容易造成存储空间的“碎片”。

四、链式存储结构

1. 特点

• 用一组任意的存储单元存储线性表的数据元素，这组存储单元可以存在内存中未被占用的任意位置。
• 顺序存储结构每个数据元素只需要存储一个位置就可以了。
  链式存储结构中，除了要存储数据元素信息外，还要存储它的后继元素的存储地址（指针）。除了存储其本身的信息外，还需存储一个指示其直接后继的存储位置的信息。

2. 我们把存储数据元素信息的域称为数据域，把存储直接后继位置的域称为指针域。指针域中存储的信息称为指针或链。这两部分信息组成数据元素称为存储映像，称为结点(Node)。

• n个结点链接成一个链表，即为线性表(a1, a2, a3, …, an)的链式存储结构。
  因为此链表的每个结点中只包含一个指针域，所以叫做单链表。

  
  image.png
  

  第一个结点叫头指针；
  数据a1+指针域 = 结点；
  最后一个结点指针指向空。

2. 头指针与头结点

• 头指针
  头指针是指链表指向第一个结点的指针，若链表有头结点，则是指向头结点的指针。
  头指针具有标识作用，所以常用头指针冠以链表的名字（指针变量的名字）。
  无论链表是否为空，头指针均不为空。
  头指针是链表的必要元素。
• 头结点
  头结点是为了操作的统一和方便而设立的，放在第一个元素的结点之前，其数据域一般无意义（但也可以用来存放链表的长度）。
  有了头结点，对在第一元素结点前插入结点和删除第一结点起操作与其它结点的操作就统一了。
  头结点不一定是链表的必须要素。
• 单链表
  image.png
• 空链表
  image.png

3. 单链表存储结构

单链表
typedef struct Node
{
ElemType data;      // 数据域
struct Node* Next;  // 指针域
} Node;
typedef struct Node* LinkList;

p->data = ai，那么p->next->data = ?
答案：p->next->data = ai+1。

• 获得链表第i个数据

/* 初始条件：顺序线性表L已存在，1<=i<=ListLength(L) */
/* 操作结果：用e返回L中第i个数据元素的值 */

Status GetElem( LinkList L, int i, ElemType *e )
{
    int j;
    LinkList p;
    p = L->next;
    j = 1;
    while( p && j<i )
    {
        p = p->next;
        ++j;
    }
    if( !p || j>i )
    {
        return ERROR;
    }
    *e = p->data;
    return OK;
}

时间复杂度为O(1 )