矩阵指数函数与常微分方程组求解

作者: 半夜清风 | 来源:发表于2020-07-14 16:06 被阅读0次

矩阵指数函数(matrix exponential)可用来求解常微分方程组。对于方形矩阵A，其矩阵指数函数定义为： $\text{expm}(A)=e^A=\sum _{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} A^k \tag{1}$
对矩阵A进行相似变换，
$A=T D T^{-1} \tag{2}$
结合 $(1)$ 与 $(2)$ 可得:
$\text{expm}(A)=T\sum _{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} D^k \ T^{-1}=Te^DT^{-1} \tag{3}$
矩阵指数函数有以下性质：
如果两个方阵A, B满足 $AB=BA$ , 则:
$Ae^{Bt}=e^{Bt}A \tag{4}$
矩阵函数的导数:
$(e^{At}c)' = Ae^{At}c \tag{5}$
可以通过级数展开得到验证。

线性常微分方程组

对于不含多余项的线性常微分方程组:
$y'=Ay, \quad y(0)=y_0 \tag{6}$
其解为:
$y=e^{At}y_0 \tag{7}$
可以通过Taylor展开进行验证。也可以通过变换得到:
$e^{-At}y'=e^{-At}Ay$
根据 $(4)$ ,
$e^{-At}y'=Ae^{-At}y$
即:
$(e^{-At}y)' = 0$
从而
$y=e^{At}y_0$

含多余项的线性常微分方程组

对于含多余项的线性常微分方程组:
$y' = Ay + f(t), \quad y(0)=y_0 \tag{8}$
可以通过变换再进行求解:
$e^{-At}y' = e^{-At}y + e^{-At}f(t) \tag{9}$
利用 $(4)$ ， $(8)$ 可以改为:
$(e^{-At}y)' = e^{-At}f(t)$
因而
$y = e^{At}( y_0 + \int_{\tau=0}^{\inf} e^{-A \tau} f(\tau) d\tau) \tag{10}$