跳跃表

最近在看redis源码，其中看到跳跃表的部分。无奈大学期间数据结构学的基本上都快忘没了，在网上找了个介绍跳跃表的两篇博文来重新学习下。

引言

二叉树是我们都非常熟悉的一种数据结构。它支持包括查找、插入、删除等一系列的操作。但它有一个致命的弱点，就是当数据的随机性不够时，会导致其树型结构的不平衡，从而直接影响到算法的效率。

跳跃表（Skip List）是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。 而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低得多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。

跳跃表结构：

跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：

1. 每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞(其实不需要)
2. S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
3. 每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。

操作

查找

目的：在跳跃表中查找一个元素x
在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：

1. 从最上层的链（Sh）的开头开始

2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较
   (1) x=y 输出查询成功及相关信息
   (2) x>y 从p向右移动到q的位置
   (3) x<y 从p向下移动一格

3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败

插入

目的：向跳跃表中插入一个元素x
首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。
关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。
而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。

我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下：

产生一个0到1的随机数r r ← random()
如果r小于一个常数p，则执行方案A， if r<p then do A
否则，执行方案B else do B
初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。

我们来看一个例子：
假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4
步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置

步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构:

删除

目的：从跳跃表中删除一个元素x
删除操作分为以下三个步骤：

在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
将该元素所在整列从表中删除
将多余的“空链”删除

我们来看一下跳跃表的相关复杂度：

空间复杂度： O(n) （期望）
跳跃表高度： O(logn) （期望）

相关操作的时间复杂度：

查找： O(logn) （期望）
插入： O(logn) （期望）
删除： O(logn) （期望）

---

Paste_Image.png

一开始的那些图容易给人误解。如上图所示，例如每个节点的forward[2]，就认为是跳跃表的第3层。List.hdr的forward[2]指向11，11的forward[2]指向30，30的forward[2]指向53。这就是跳跃表的第3层：11---30-----53。（准确的说每个forward都指向新节点，新节点的同层forward又指向另一个节点，从而构成一个链表，而数据只有一个，并不是像开始途中所画的那样有N个副本）。本人天资愚钝，看了挺长时间才把它在内存里的结构看清楚了，呵呵

跳跃表的实现

/* skip list */  
  
#include <stdio.h>   
#include <stdlib.h>   
  
/* implementation dependent declarations */  
typedef enum {   
    STATUS_OK,   
    STATUS_MEM_EXHAUSTED,   
    STATUS_DUPLICATE_KEY,   
    STATUS_KEY_NOT_FOUND   
} statusEnum;   
  
typedef int keyType;            /* type of key */  
  
/* user data stored in tree */  
typedef struct {   
    int stuff;                  /* optional related data */  
} recType;   
  
#define compLT(a,b) (a < b)   
#define compEQ(a,b) (a == b)   
  
/* levels range from (0 .. MAXLEVEL) */  
#define MAXLEVEL 15   
  
typedef struct nodeTag {   
    keyType key;                /* key used for searching */  
    recType rec;                /* user data */  
    struct nodeTag *forward[1]; /* skip list forward pointer */  
} nodeType;   
  
/* implementation independent declarations */  
typedef struct {   
    nodeType *hdr;              /* list Header */  
    int listLevel;              /* current level of list */  
} SkipList;   
  
SkipList list;                  /* skip list information */  
  
#define NIL list.hdr   
static int count = 0;   
statusEnum insert(keyType key, recType *rec) {   
    int i, newLevel;   
    nodeType *update[MAXLEVEL+1];   
    nodeType *x;   
    count++;   
   /***********************************************  
    *  allocate node for data and insert in list  *  
    ***********************************************/  
  
    /* find where key belongs */  
    /*从高层一直向下寻找，直到这层指针为NIL，也就是说  
    后面没有数据了，到头了，并且这个值不再小于要插入的值。  
    记录这个位置，留着向其后面插入数据*/  
    x = list.hdr;   
    for (i = list.listLevel; i >= 0; i--) {   
        while (x->forward[i] != NIL    
          && compLT(x->forward[i]->key, key))   
            x = x->forward[i];   
        update[i] = x;   
    }   
  
       
    /*现在让X指向第0层的X的后一个节点*/  
    x = x->forward[0];   
  
       
    /*如果相等就不用插入了*/  
    if (x != NIL && compEQ(x->key, key))    
        return STATUS_DUPLICATE_KEY;   
  
   /*随机的计算要插入的值的最高level*/  
    for (   
      newLevel = 0;    
      rand() < RAND_MAX/2 && newLevel < MAXLEVEL;    
      newLevel++);   
    /*如果大于当前的level，则更新update数组并更新当前level*/  
    if (newLevel > list.listLevel) {   
        for (i = list.listLevel + 1; i <= newLevel; i++)   
            update[i] = NIL;   
        list.listLevel = newLevel;   
    }   
  
    /* 给新节点分配空间，分配newLevel个指针，则这个  
    节点的高度就固定了，只有newLevel。更高的层次将  
    不会再有这个值*/  
    if ((x = malloc(sizeof(nodeType) + newLevel*sizeof(nodeType *))) == 0)   
        return STATUS_MEM_EXHAUSTED;   
    x->key = key;   
    x->rec = *rec;   
  
    /* 给每层都加上这个值，相当于往链表中插入一个数*/  
    for (i = 0; i <= newLevel; i++) {   
        x->forward[i] = update[i]->forward[i];   
        update[i]->forward[i] = x;   
    }   
    return STATUS_OK;   
}   
  
statusEnum delete(keyType key) {   
    int i;   
    nodeType *update[MAXLEVEL+1], *x;   
  
   /*******************************************  
    *  delete node containing data from list  *  
    *******************************************/  
  
    /* find where data belongs */  
    x = list.hdr;   
    for (i = list.listLevel; i >= 0; i--) {   
        while (x->forward[i] != NIL    
          && compLT(x->forward[i]->key, key))   
            x = x->forward[i];   
        update[i] = x;   
    }   
  
  
    x = x->forward[0];   
  
  
    if (x == NIL || !compEQ(x->key, key)) return STATUS_KEY_NOT_FOUND;   
  
    /* adjust forward pointers */  
    for (i = 0; i <= list.listLevel; i++) {   
        if (update[i]->forward[i] != x) break;   
        update[i]->forward[i] = x->forward[i];   
    }   
  
    free (x);   
  
    /* adjust header level */  
    while ((list.listLevel > 0)   
    && (list.hdr->forward[list.listLevel] == NIL))   
        list.listLevel--;   
  
    return STATUS_OK;   
}   
  
statusEnum find(keyType key, recType *rec) {   
    int i;   
    nodeType *x = list.hdr;   
  
   /*******************************  
    *  find node containing data  *  
    *******************************/  
  
    for (i = list.listLevel; i >= 0; i--) {   
        while (x->forward[i] != NIL    
          && compLT(x->forward[i]->key, key))   
            x = x->forward[i];   
    }   
    x = x->forward[0];   
    if (x != NIL && compEQ(x->key, key)) {   
        *rec = x->rec;   
        return STATUS_OK;   
    }   
    return STATUS_KEY_NOT_FOUND;   
}   
  
void initList() {   
    int i;   
  
   /**************************  
    *  initialize skip list  *  
    **************************/  
  
    if ((list.hdr = malloc(   
            sizeof(nodeType) + MAXLEVEL*sizeof(nodeType *))) == 0) {   
        printf ("insufficient memory (initList)\n");   
        exit(1);   
    }   
    for (i = 0; i <= MAXLEVEL; i++)   
        list.hdr->forward[i] = NIL;   
    list.listLevel = 0;   
}   
  
int main(int argc, char **argv) {   
    int i, maxnum, random;   
    recType *rec;   
    keyType *key;   
    statusEnum status;   
  
  
    /* command-line:  
     *  
     *   skl maxnum [random]  
     *  
     *   skl 2000  
     *       process 2000 sequential records  
     *   skl 4000 r  
     *       process 4000 random records  
     *  
     */  
  
    maxnum = 20;   
    random = argc > 2;   
  
    initList();   
  
    if ((rec = malloc(maxnum * sizeof(recType))) == 0) {   
        fprintf (stderr, "insufficient memory (rec)\n");   
        exit(1);   
    }   
    if ((key = malloc(maxnum * sizeof(keyType))) == 0) {   
        fprintf (stderr, "insufficient memory (key)\n");   
        exit(1);   
    }   
  
    if (random) {   
        /* fill "a" with unique random numbers */  
        for (i = 0; i < maxnum; i++) key[i] = rand();   
        printf ("ran, %d items\n", maxnum);   
    } else {   
        for (i = 0; i < maxnum; i++) key[i] = i;   
        printf ("seq, %d items\n", maxnum);   
    }   
  
    for (i = 0; i < maxnum; i++) {   
        status = insert(key[i], &rec[i]);   
        if (status) printf("pt1: error = %d\n", status);   
    }   
  
    for (i = maxnum-1; i >= 0; i--) {   
        status = find(key[i], &rec[i]);   
        if (status) printf("pt2: error = %d\n", status);   
    }   
  
    for (i = maxnum-1; i >= 0; i--) {   
        status = delete(key[i]);   
        if (status) printf("pt3: error = %d\n", status);   
    }   
    return 0;   
}