MIT 线性代数 10.四个基本子空间以及把矩阵当成一个向量

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-24 10:40 被阅读0次

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1.列空间

$C(A)$

2.零空间

$N(A)$

3.行空间

A的所有行的线性组合，即A的转置的列空间 $C(A^T)$

4. $A^T$ 的零空间

$N(A^T)$ ,有时我们也叫 $A$ 的左零空间

微信图片_20220406175009.png

列空间 $C(A)$ 和零空间 $N(A)$ 前面求 $Ax=0$ 的解已经提到过，其实不用继续做过多讲解
这里说一下 $A$ 行空间和 $A^T$ 零空间
还是以之前的矩阵例子

$A=\begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix} \rightarrow行简化消元\rightarrow R=\begin{bmatrix} 1&0&1&1\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

我们知道消元的过程可以用 $EA=R$ 表达
这边我们直接写出 $EA=R$ （具体的过程自行计算）

$\begin{bmatrix} -1&2&0\\ 1&-1&0\\ -1&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&1&1\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

由矩阵乘法的按行组合理解，可知矩阵 $R$ 的每一行，其实都是矩阵 $A$ 按 $E$ 矩阵的每一行的规则进行线性组合的，所以 $A$ 的行空间其实就是 $R$ 的行空间，而且，可以认为 $R$ 的行空间是 $A$ 的行空间的最简化的表达形式，
这里的 $R$ 的第一行和第二行可以认为是 $A$ 的行空间基，证据是什么呢，因为 $R$ 是由 $A$ 行变换E而来，那自然 $R$ 通过相应的E的逆变换组合得到 $A$

接下来说 $A^T$ 的零空间
零空间的定义是 $A^Ty=0$
两边取转置得到 $yTA=0^T$ 可以看到这种形式下未知数 $y$ 在 $A$ 的左边，所以 $A^T$ 的零空间也叫A的左零空间

我们用具体的矩阵 $A$ 来表示
于是 $yTA=0^T$ 可以写成

$\begin{bmatrix} y1&y2&y3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$
非常的巧合， $\begin{bmatrix} y1&y2&y3 \end{bmatrix}$ 的解，正是上面的E矩阵的第三行
即
$\begin{bmatrix} -1&0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&2&3&1\\ 1&1&2&1\\ 1&2&3&1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$
也就是矩阵 $A$ 的第一行的 $-1$ 倍加上第三行的 $1$ 倍，最后是第二行的 $0$ 倍，得到 $\begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ \end{bmatrix}$ ，这刚好对应的是消元过程中得到简化矩阵的某一行清零的步骤

所以这个特殊矩阵 $A^T$ 的零空间是一条直线
那么具体而言 $A^T$ 的零空间到底满足什么特殊规律呢
我们注意到 $A的行秩=主元行的个数=2$ ，而自由行的个数是总行数 $3-2=1$ ，所以左零空间的维数也是 $1$ ，也就是为什么这个矩阵A的左零空间是一条直线的原因

从上面其实可以看出一点东西，

即行空间和左零空间，对应我们熟悉的列空间和零空间，其实就差一个转置的关系

把矩阵空间当成一个新的向量空间

只考虑矩阵之间的加减，以及数乘，不考虑矩阵之间的乘法，那么这样的矩阵之间构成一个向量空间

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