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线性代数笔记11

线性代数笔记11

作者: 大飞哥 | 来源:发表于2019-01-23 20:32 被阅读7次

第十一节

新型向量空间的基//矩阵的秩

新型向量空间 即：矩阵空间

对于3x3矩阵空间
矩阵空间的维度是9
对称矩阵空间的维度是6
上三角矩阵空间的维度是6
对角矩阵空间的维度是3

对称矩阵空间S，上三角矩阵空间U，对角矩阵空间D
交集（intersection）
S \cap U =D

并集（union）
而S \cup U 都不是一个子空间

和（sum）
S + U
任意S中的元素 + 任意U中的元素 维度是9，整个3x3的矩阵空间
加空间，就是 一个平面加另一个平面，完全的相加

dim(S+U)+dim(S \cap U)=dim(S)+dim(U)\\ 9+3=6+6

一个例子：
\frac{\mathrm{d^2y} }{\mathrm{d} x^2}+y=0

两个特解是 cos x,sin x,则y的通解是：
y=c_1cos x+c_2sinx
则dim(解空间)=2
cos x,sin x就是解空间的一组基

任何一个秩为1的矩阵，都可以表示为A=UV^T
U,V分别为均为列向量

例子：
v=\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\v_4 \end{bmatrix}
S是R^4内的，满足v_1+v_2+v_3+v_4=0的空间
则S就是零空间，对应Av=0，其中A=\begin{bmatrix} 1&1&1&1 \end{bmatrix}
则A的秩，rank=1，dim(N(A))=n-r=3

由A可以求得S的基：
第一个1设为主元，则分别另其他自由变量，一个为1，其他为0，可以求得S的基：
\begin{bmatrix} -1\\1\\0\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1\\0\\0\\1 \end{bmatrix}

小世界 图论的引入

Graph=\{nodes ,edges\}

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