红黑树

要学习红黑树，首先我们要先了解二叉查找树，二叉查找树有如下特性

1.左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。
2.右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。
3.左、右子树也分别为二叉查找树。

下面我们来看一个典型的二叉查找树，查找值为10的节点。

图1

首先根节点9小于10，所以查看右子树节点13。

图2

节点13大于10，所以我们再查看左子树节点11。

图3

由于11大于10，所以我们再查看左子树节点，结果成功查找到值为10的节点。

图4

这种方式正是二分查找的思想，查找所需的最大次数等同于二叉查找树的高度。在插入节点的时候，也是采用类似的方法，通过一层一层比较大小，找到新节点适合插入的位置。但是插入或者删除后要保持树的平衡，是一件麻烦事。比如图5初始的二叉查找树只有三个节点，根节点值为9，左孩子值为8，右孩子值为12；我们依次插入如下五个节点：7,6,5,4,3。由每次插入的节点都比最小值要小，最终所有的节点就连成了一条链，如图6所示，此时深度为n，查找的时间复杂度就是O(n)了。

图5
图6

为了解决这个问题，有人发明了平衡二叉树，又被称为AVL树，具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是，平衡二叉树也有一定的局限。对于平衡二叉树来说，每个节点的子树的高度差不能超过1，一旦出现违反的情况，就需要进行左旋或者右旋操作，从而调整二叉树的高度。但是，在插入和删除节点的过程中，平衡度超过1是经常发生的事情，这也就导致了调整操作频繁地发生，从而提高时间复杂度。也就是说，这种追求绝对平衡的行为，并不是一个好的做法。

这就引出了我们今天的主角红黑树（RB_Tree），红黑树是一种自平衡的二叉查找树。除了符合二叉查找树的基本特性外，它还需要满足如下规则：

1.节点是红色或黑色。
2.根节点是黑色。
3.每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

下面这棵树，就是一个典型的红黑树

图7

这五条规则单独分开来看都很好理解，但是放在一起就有点迷惑了，为什么是这五规则，它们之间有什么关系？其实这些复杂的定义和规则都是为了保证树的平衡性，因为保证树的平衡性才能降低树的高度。树的查找性能取决于树的高度，所以树的高度越低搜索的效率越高！这也是为什么存在二叉树、搜索二叉树等，各类树的原因。

当插入或删除节点的时候，红黑树的规则可能被打破，这时候需要我们进行调整来维持这些规则。下面举个例子。
我们向刚才图5的红黑树插入值为14的新节点。

图8

再插入值为21的节点。

图9

由于父节点22是红色节点，因此这种情况打破了红黑树的规则4（每个红色节点的两个子节点都是黑色），必须进行调整，使之重新符合红黑树的规则。

那需要怎么调整呢？一般有两种方法，变色和旋转，而旋转又分为两种形式，左旋转和右旋转。

首先来看变色：
为了重新符合红黑树的规则，尝试把红色节点变为黑色，或者把黑色节点变为红色。
下图所表示的是刚才红黑树的一部分，需要注意节点25并非根节点。因为节点21和节点22连续出现了红色，不符合规则4，所以把节点22从红色变成黑色：

图10

但这样并不算完，因为凭空多出的黑色节点打破了规则5，所以发生连锁反应，需要继续把节点25从黑色变成红色：

图11

此时仍然没有结束，因为节点25和节点27又形成了两个连续的红色节点，需要继续把节点27从红色变成黑色：

图12

看完变色，再来看看旋转。

左旋转
逆时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

图13

右旋转
顺时针旋转红黑树的两个节点，使得父节点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。

图14

继续刚才的例子，经过刚才调整后红黑树变成了下图所示：

图15

此时节点17和节点25是连续的两个红色节点，那么把节点17变成黑色节点？恐怕不合适。这样一来打破了规则4，而且根据规则2（根节点是黑色），也不可能把节点13变成红色节点。
这时我们可以把节点13看做X，把节点17看做Y，像刚才的示意图那样进行左旋转：

图16
图17
图18

由于根节点必须是黑色节点，所以需要变色，变色结果如下：

图19

这样就结束了吗？并没有。因为其中两条路径(17 -> 8 -> 6 -> NIL)的黑色节点个数是4，其他路径的黑色节点个数是3，不符合规则5。
这时候我们需要把节点13看做X，节点8看做Y，像刚才的示意图那样进行右旋转：

图20
图21
图22

最后根据规则来进行变色：

图23

如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则。关于红黑树自平衡的调整，插入和删除节点的时候会涉及到很多种Case，都会采取不同的操作，但是核心思想都是为了维持五条规则。

此外，红黑树还有一条定理，即红黑树从根到叶子的最长路径不会超过最短路径的两倍。这条定理是怎么来的呢？它是通过红黑树的五条规则推导而来。我们看上述规则5可知，从根节点到任意一个叶子节点，经过的黑色节点数目是相同的。而规则4又规定，不能有两个红色节点连在一起。于是我们这样考虑，假设从根节点到每个叶子节点，都是经过3个黑色节点，那么怎样才能让路径尽可能长？答案当然是尽量在黑色节点中插入红色节点，用红色节点充数。但是由于规则4，所以红色节点不能多放。于是，理论上的最长路径，一定是一个黑节点，连着一个红节点，再连着一个黑节点，以此类推。我们之前假设每条路径都是3个黑节点，再加上规则2说根节点一定是黑色，所以从根节点到子节点最多只能有6个节点，三黑三红交叉连接。那理论上的最短路径又是如何？当然是不包含任何一个红色节点，也就是只有3个黑节点。也就是说，理论上，最长路径，最多是最短路径的两倍。这个结论就限制了红黑树的最大平衡差，也就保证了不会出现图6的情况。

红黑树的应用有很多，jdk的集合类TreeMap和TreeSet底层都是就是用红黑树实现的，在java8中，HashMap也用到了红黑树。

与b树和b+树对比看，红黑树适合小数据范围内的快速查找(比如map当量的容器)(查询时间复杂度是O(logN))。b树适合大范围数据查找(db场合)。

而与完全二叉树相比，红黑树的查找、插入和删除的时间复杂度都是O(log n)，而完全二叉树的查找时间复杂度也是O(log n)，但插入和删除的时间复杂度为O(n)。因此，在实际应用中，红黑树通常比完全二叉树更受欢迎，因为它在维护有序性的同时，具有较好的平衡性能。

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引用：https://blog.csdn.net/qq_36610462/article/details/83277524 原文讲的非常好，建议大家学习。
https://www.cnblogs.com/tuyang1129/p/12556519.html