复习
<pre>
sum = 0
i = 0
while i <= 100:
sum = sum + i
i = i + 1
print(sum)
</pre>
- for循环
<pre>
sum = 0
for i in range(101):
sum = sum + 1
print(sum)
</pre>
函数
函数是组织好的，可重复使用的，用来实现单一，或相关联功能的代码段。
函数能提高应用的模块性，和代码的重复利用率。你已经知道Python提供了许多内建函数，比如print()。但你也可以自己创建函数，这被叫做用户自定义函数。
如何定义函数
参数
如何调用函数
如何返回函数
函数体内部的语句在执行时，一旦执行到return时，函数就执行完毕，并将结果返回。
例子:求和n
类比
函数:厨房
参数:食材
多个参数
<pre>
import math
def abs(num):
if num < 0:
return -num;
else:
return num;
</pre>
练习:
- 定义一个函数,传入两个数字参数, 返回最大值
- 定义一个函数,传入两个数字参数, 返回最小值
- 定义一个函数,传入两个数字参数a,b. 返回a的b次方
- 定义一个函数,传入一个数字参数a, 作为圆的半径,返回圆的面积
- 定义一个函数,传入三个数字参数, 返回最小值
- 定义一个函数,传入数字数组, 返回最小值
调用其他函数
递归函数
在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。
举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示，可以看出：
fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n
所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。
于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：
<pre>
def fact(n):
if n==1:
return 1
return n * fact(n - 1)
</pre>
上面就是一个递归函数。可以试试：
如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：
===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))
===> 5 * (4 * (3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120
递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。
使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)：
递归函数
阅读: 310046
在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。
举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n
，用函数fact(n)
表示，可以看出：
fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n
所以，fact(n)
可以表示为n x fact(n-1)
，只有n=1时需要特殊处理。
于是，fact(n)
用递归的方式写出来就是：
def fact(n): if n==1: return 1 return n * fact(n - 1)
上面就是一个递归函数。可以试试：
fact(1)1>>> fact(5)120>>> fact(100)93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
如果我们计算fact(5)
，可以根据函数定义看到计算过程如下：
===> fact(5)===> 5 * fact(4)===> 5 * (4 * fact(3))===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))===> 5 * (4 * (3 * 2))===> 5 * (4 * 6)===> 5 * 24===> 120
递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。
使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)
：
fact(1000)Traceback (most recent call last): File "<stdin>", line 1, in <module> File "<stdin>", line 4, in fact ... File "<stdin>", line 4, in factRuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison
解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。
尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。
上面的fact(n)
函数由于return n * fact(n - 1)
引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：
def fact(n): return fact_iter(n, 1)def fact_iter(num, product): if num == 1: return product return fact_iter(num - 1, num * product)
可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)
仅返回递归函数本身，num - 1
和num * product
在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。
fact(5)
对应的fact_iter(5, 1)
的调用如下：
===> fact_iter(5, 1)===> fact_iter(4, 5)===> fact_iter(3, 20)===> fact_iter(2, 60)===> fact_iter(1, 120)===> 120
尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。
遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)
函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。
小结
使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。
针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。
Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。
练习
汉诺塔的移动可以用递归函数非常简单地实现。
请编写move(n, a, b, c)
函数，它接收参数n
，表示3个柱子A、B、C中第1个柱子A的盘子数量，然后打印出把所有盘子从A借助B移动到C的方法，例如：
题目：有四个数字：1、2、3、4，能组成多少个互不相同且无重复数字的三位数？各是多少？
程序分析：可填在百位、十位、个位的数字都是1、2、3、4。组成所有的排列后再去 掉不满足条件的排列。
程序源代码：
<pre>
for i in range(1,5):
for j in range(1,5):
for k in range(1,5):
if( i != k ) and (i != j) and (j != k):
print i,j,k
</pre>
题目：企业发放的奖金根据利润提成。利润(I)低于或等于10万元时，奖金可提10%；利润高于10万元，低于20万元时，低于10万元的部分按10%提成，高于10万元的部分，可提成7.5%；20万到40万之间时，高于20万元的部分，可提成5%；40万到60万之间时高于40万元的部分，可提成3%；60万到100万之间时，高于60万元的部分，可提成1.5%，高于100万元时，超过100万元的部分按1%提成，从键盘输入当月利润I，求应发放奖金总数？
程序分析：请利用数轴来分界，定位。注意定义时需把奖金定义成长整型。
程序源代码：
<pre>
i = int(raw_input('净利润:'))
arr = [1000000,600000,400000,200000,100000,0]
rat = [0.01,0.015,0.03,0.05,0.075,0.1]
r = 0
for idx in range(0,6):
if i>arr[idx]:
r+=(i-arr[idx])rat[idx]
print (i-arr[idx])rat[idx]
i=arr[idx]
print r
</pre>
题目：一个正整数，它加上100和加上268后都是一个完全平方数，请问该数是多少？
程序分析：在10000以内判断，将该数加上100后再开方，加上268后再开方，如果开方后的结果满足如下条件，即是结果。请看具体分析：
程序源代码
<pre>
import math
for i in range(10000):
#转化为整型值
x = int(math.sqrt(i + 100))
y = int(math.sqrt(i + 268))
if(x * x == i + 100) and (y * y == i + 268):
print i
</pre>
题目：斐波那契数列。
程序分析：斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。
在数学上，费波那契数列是以递归的方法来定义：
<pre>
def fib(n):
a,b = 1,1
for i in range(n-1):
a,b = b,a+b
return a
输出了第10个斐波那契数列
print fib(10)
</pre>
<pre>
使用递归
def fib(n):
if n==1 or n==2:
return 1
return fib(n-1)+fib(n-2)
输出了第10个斐波那契数列
print fib(10)
</pre>
题目：输出 9*9 乘法口诀表。
程序分析：分行与列考虑，共9行9列，i控制行，j控制列。
程序源代码：
<pre>
for i in range(1, 10):
print
for j in range(1, i+1):
print "%d%d=%d" % (i, j, ij),
</pre>
题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
程序分析：兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21....
程序源代码：
<pre>
f1 = 1
f2 = 1
for i in range(1,22):
print '%12ld %12ld' % (f1,f2),
if (i % 3) == 0:
print ''
f1 = f1 + f2
f2 = f1 + f2
</pre>
题目：判断101-200之间有多少个素数，并输出所有素数。
程序分析：判断素数的方法：用一个数分别去除2到sqrt(这个数)，如果能被整除，则表明此数不是素数，反之是素数。
<pre>
!/usr/bin/python
-- coding: UTF-8 --
h = 0
leap = 1
from math import sqrt
from sys import stdout
for m in range(101,201):
k = int(sqrt(m + 1))
for i in range(2,k + 1):
if m % i == 0:
leap = 0
break
if leap == 1:
print '%-4d' % m
h += 1
if h % 10 == 0:
print ''
leap = 1
print 'The total is %d' % h
</pre>
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