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G‘G展开法等多种求解微分方程方法

G‘G展开法等多种求解微分方程方法

作者: Neural_PDE | 来源:发表于2022-10-17 11:46 被阅读0次

1 PDEs转ODEs

偏微分方程 P\left(u, u_{x}, u_{t}, u_{x x}, \ldots\right)=0,
通过变换 u(x, t)=U(\xi),\xi=ax+bt+cy+dz,
成为 F\left(U, U^{\prime}, U^{\prime \prime}, U^{\prime \prime \prime}, \ldots\right)=0.

注：这里变换有好多形式.
例如：u(x, t)=P(\xi) e^{i(k x-w t+\theta)}, \quad \xi=x-c t,
此时PDE转化为实部F_1和虚部F_2, 即得到了ODEs(常微分方程组)

2 对于常微分方程求解(待定系数法)

2.1 齐次平衡找到N

最高阶导数项:U^{\prime \prime \prime \prime}为N+4
最高阶非线性项:U^{\prime} U^{\prime \prime}为(N+1)+(N+2)
令最高阶导数项=最高阶非线性项，得 N=1

例1：u_{t}+u u_{x}-u_{x x}=0,
其中最高阶导数项为 u_{x x} , 最高阶非线性项为 u u_{x} ,
根据齐次平衡原则有 n+2=n+(n+1) , 所以平衡指数为 n=1 .

例2：\frac{\left(\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{~d} \xi^{2}} U(\xi)\right) \sigma k_{1}^{2}}{2}+\beta U(\xi)|U(\xi)|^{2}-\frac{U(\xi) \sigma k_{2}^{2}}{2}-U(\xi) c_{2}=0,
其中最高阶导数项为 U_{\xi \xi} , 最高阶非线性项为 u |u|^2 ,
根据齐次平衡原则有 n+2=n+n+n , 所以平衡指数为 n=1 .

2.2 给出试探函数

多种假设U(\xi)=...(这里需要用到齐次平衡)
这里往往U(\xi)=...已知条件如下：
具有如下的解：

2.3 将假设回代ODEs

求得结果

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