函数的极限

一、概念

y=f(x) 一元函数

函数自变量的变化趋势：

• 自变量趋向于定点

  • x->x0 代表x从x0的左右两边趋向于x0;

    
    image

• 自变量趋向于无穷

  
  image

自变量趋向于定点时函数的极限：靠近谁，谁就是极限

• X从数轴两边趋向于定点X0

  
  image

• 从数轴左边趋向于定点X0

  
  image

• X从数轴右边趋向于定点X0

  
  image

自变量趋向于无穷时函数的极限

• X从数轴向两边趋向无穷时：

  
  image

• X从数轴向最小边取向，也就是趋向负无穷时：

  
  image

• X从数轴向最大边取向，也就是趋向正无穷时：

  
  image

上图三张图 当前 函数f(x) 的极限是都是０；

二、计算

多项式求极限：

将自变量趋向的值直接代入函数中，所得值就是极限；

image

有理式求极限：

• 1、自变量x趋向于定点x0时，先将x0代入分母，再代入分子;

  
  image

• 例子(1)：代入后分母不等于0等情况 （注意：这里的0不是完全等于0，而是值无限接近于0）

  
  image

• 例子(2)：代入后分母等于0，分子不等于0，极限是零 。和 代入后分子/分母等于0，极限要约去零因式（零因式：导致式子为0的式子）；

  
  image

• 2、自变量x趋向于无穷（只看最高次项）

  
  image

• 3、分子，分母有理化

  
  image

重要极限公式

image image

无穷

自变量趋向定点(x->x0)或无穷(x->无穷)时候，f(x)趋向无穷小或无穷大；

• 无穷小乘以有界函数还是无穷小

image

• 无穷大与无穷小关系

  
  image

• 无穷小的比较

  
  image

• 一些重要的无穷小等价（**必须记住**）
  

  image

• 无穷小等价代换，在函数极限运算中用（注意：乘除可用，加减不可用）
  image