分类
- 树、二叉树
- 二叉查找树
- 平衡二叉树、红黑树
- 递归树
重点
计算公式
- 节点高度 = 节点到叶子节点的最长路径（边数）（从下往上：从最底层开始计数，并且计数的起点是 0）
- 节点深度 = 根节点到这个节点所经历的边的个数。(从上往下：从根结点开始度量，并且计数起点也是 0)
- 节点层数 = 节点深度 + 1
- 树的高度 = 根节点的高度
二叉树
概念
- 每个节点最多有两个“叉”，也就是两个子节点，分别为左子节点和右子节点
- 二叉树并不要求每个节点都有两个子节点，有的节点只有左子节点，有的只有右子节点
分类
- 满二叉树：叶子节点都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点。
- 完全二叉树：叶子节点都在最底下两层，而且最后一层的叶子节点都考左侧排列。
存储
- 链式存储法（链表）：基于指针或者引用的二叉链式存储法，大部分二叉树代码都是通过这种结构来实现的。【说明：每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来】
二叉树-链式存储法.png
- 顺序存储法（数组）：基于数组的顺序存储法 【说明：如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置（一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置），这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。】
二叉树-顺序存储法.png
遍历
分类：前序遍历、中序遍历、后序遍历。其中，前、中、后序，表示的是节点与它的左右子树节点遍历打印的先后顺序。
时间复杂度：O(n)
本质：二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。
说明
- 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
- 中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
- 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。
递推公式：
- 前序：preOrder(r) = print r + preOrder(r -> left) + preOrder(r -> right)
- 中序：inOrder(r) = inOrder（ r -> left） + print(r) + inOrder(r -> right)
- **后序：postOrder(r) = postOrder(r -> right) + postOrder(r -> left) + print r **
代码
void preOrder(Node* root) { if (root == null) return; print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 preOrder(root->left); preOrder(root->right); } void inOrder(Node* root) { if (root == null) return; inOrder(root->left); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 inOrder(root->right); } void postOrder(Node* root) { if (root == null) return; postOrder(root->left); postOrder(root->right); print root // 此处为伪代码，表示打印root节点 } //用栈来迭代，下面的双层循环结构，是不变的 // 前序：根入左 完出右 // 中序：入左完 出根右 // 后序：入左入右 逐出右 //while(root!=null || !stack.isEmpty()){ // while(root!=null){} //}二叉树-前中后序遍历.png
二叉查找树
概念
二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。
二叉查找树.png
常规操作
查询
操作：首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。--【二分查找】
代码
public class BinarySearchTree { private Node tree; public Node find(int data) { Node p = tree; while (p != null) { if (data < p.data) p = p.left; else if (data > p.data) p = p.right; else return p; } return null; } public static class Node { private int data; private Node left; private Node right; public Node(int data) { this.data = data; } } }二叉查找树-查找操作.png
插入
操作：二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
代码
public void insert(int data) { if (tree == null) { tree = new Node(data); return; } Node p = tree; while (p != null) { if (data > p.data) { if (p.right == null) { p.right = new Node(data); return; } p = p.right; } else { // data < p.data if (p.left == null) { p.left = new Node(data); return; } p = p.left; } } }二叉查找树-插入操作.png
删除
操作
- 第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。
- 第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。
- 第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。
代码
public void delete(int data) { Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点 Node pp = null; // pp记录的是p的父节点 while (p != null && p.data != data) { pp = p; if (data > p.data) p = p.right; else p = p.left; } if (p == null) return; // 没有找到 // 要删除的节点有两个子节点 if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点 Node minP = p.right; Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点 while (minP.left != null) { minPP = minP; minP = minP.left; } p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中 p = minP; // 下面就变成了删除minP了 pp = minPP; } // 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点 Node child; // p的子节点 if (p.left != null) child = p.left; else if (p.right != null) child = p.right; else child = null; if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点 else if (pp.left == p) pp.left = child; else pp.right = child; }二叉查找树-删除操作.png
- 注意：关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。该操作的优点是降低编码难度，缺点是浪费内存空间。
其他操作
- 二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。
- 特性：中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。
- 重复数据二叉查找树
- 第一种方法 通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节点上。
- 第二种方法：每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。
- 当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
- 对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。
时间复杂度
时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)
二叉查找树-时间复杂度.png
和散列表比较
- 第一，散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
- 第二，散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在 O(logn)。
- 第三，笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
- 第四，散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
- 最后，为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。
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