前言

其实我只是想写CCorA与CCA的区别的，以便我可以更有效的解读和关联metadata和OTU table，但是。。。算了。。。立了这么大的title就写完吧。

定义与原则（Principles）

所谓Canonical analysis(译作‘典范分析’)，就很想吐槽译名，但也没有更好的，即同时处理多个描述同一群对象的数据表格的分析方法。例如可以处理，OTU table与metadata表格。或者生化指标的metadata和人口学特征的metadata表格。

Indirect Comparison

如果是非直接的比较，那么解释变量X，不会直接干涉响应变量Y的Ordination。X中Ordination vectors的相关或者回归是后验计算的。

Direct Comparison

解释变量X直接干涉Y的Ordination的计算，强行使其与X中变量的线性组合最大程度的相关。这在后面的对称/非对称的比较中，最为显著

asymmetric canonical ordination methods

CCA、RDA、LDA，需要在使用前明确因、果关系，两个数据表在XY和YX分析下是有区别的。

symmetric canonical ordination methods

CCorA、CoIA、Proc，输入的两个数据表是等价的，不区分因果、前后。（有说法是CCorA对 community composition data不适用，因为其方法内部需要进行标准化(Standardizes)，而species的数据不能进行标准化的(使其mean=0,std=1)。）

正文

非对称典范分析

总的来说是通过结合了Ordination和regression的方法进行分析，所以可以同时分析多个Table。可见下图，

1. 先是对X进行Ordination，
2. 再对y中各个特征进行线性回归
3. 得到了对应y在X Ordination上的一个Vectors

可见，由于存在一个线性回归后的新的投影(constrained)，所以存在R^2，且存在原始的y的直接投影(unconstrained)，也存在unconstrained 与 constrained的比重问题。

General Step

RDA CCA LDA 本质区别

分析方法	轴的来源	保留的Y的距离	最大化什么
RDA	与X的特征的线性组合最相关的方向	通过回归保留了Y中的欧式距离	Y与X回归时的R^2
CCA	CA后的轴	保留了Y中卡方距离	Y与Q(X在CA后的矩阵)回归时的R^2
LDA	X中特征线性组合后的方向	以Y作为分组条件，使组间最远	最大化(组间分散度/组内分散度)
CCorA	与X、Y的特征的线性组合最相关的方向		最大化(变量间相关性的平方)
CoIA	对X、Y进行Joint Ordination产生的轴		因为描述同堆objects，所以提取其X、Y的共有结构，并分别投影，X对objects与Y对objects
Proc	对X、Y进行Joint Ordination产生的轴		同上

如何选择canonical analysis

1. 如果能确定Y能被X所解释，即Y是X的果，存在确定的因果关系，可以使用asymmetric的方法。
   1. 如果Y是完整的表格，可以用RDA、CCA（其中若X展现与Y中的线性关系，可用RDA。CCA则适用于 可以单独对Y进行CA的数据。）
   2. 如果Y存在分类/ANOVAR factor，可以用LDA
2. CCorA与CoIA、Proc则适用于在相关矩阵中描述同一堆对象的两组Table。

附上P.L大佬的一个流程图

来自Numerical ecology 3rd Page 531

Reference

蒙特利尔大学 ‎P. Legendre教授的课件
教材节选