3 使用 SymPy 做数学研究基础

作者: 水之心 | 来源:发表于2019-10-27 20:41 被阅读0次

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介绍 SymPy 的基础语法。
举了两个实例介绍如何使用 SymPy 做数学研究。

9.1 Python 中的数学：符号计算

Python 有许多优秀的处理数学的工具，本章仅仅介绍符号计算库：SymPy。

9.1.1 使用 SymPy 表示数

Sympy 库完全由 Python 写成，支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计、物理学等方面的功能。

复数一般使用 $a + bi$ 的形式进行表示。其中 $a, b \in \mathbb{R}$ ，而 $i$ 是虚数的单位。在 SymPy 中针对这些特定的“数”，有专门的符号表示。

使用 I 表示 $i$ ，使用 Rational 表示分数。

from sympy import I, Rational, sqrt, pi, E, oo
3 + 4I, Rational(1, 3), sqrt(8), sqrt(-1), pi, E**2, oo

输出的结果是：

$3+4i, \frac{1}{3}, 2\sqrt{2}, i, \pi, e^2, \infty$

可以看出，SymPy 可以完美的表示我们熟悉的各种数学中定义的“数”。

9.1.2 使用 SymPy 提升您的数学计算能力

为什么要使用 SymPy 呢？直接使用 Python 的 math 库不就可以了吗？您也许会有诸如此类的疑问。在解释原因之前，我们来看一个例子：

import math
math.sqrt(8)

输出的结果是：

2.8284271247461903

2.8284271247461903？您没有看出，由于计算机是以二进制方式进行数学运算的，故而计算虚数的值总是不精确的，而 SymPy 的计算结果便是精确的。

import math, sympy
math.sqrt(8) ** 2, sympy.sqrt(8) ** 2

输出结果是：

(8.000000000000002, 8)

9.1.2.1 对数学表达式进行简化与展开

在 SymPy 中使用 symbols 定义数学中一个名词：变量。使用 symbols 创建多个变量名时，请使用空格或者逗号进行隔开，即 symbols('x y') 或者 symbols('x,y') 的形式。

from sympy import symbols
x, y = symbols('x y')
expr = x + 2*y
expr

输出结果：

$x + 2y$

这样，我们便可以将 expr 当作数学中的表达式了：

expr + 1, expr - x

输出结果：

$x+2y+1$ , $2y$

既然谈到数学表达式，总会涉及的其的展开与化简。比如 $x(x+2y) = x^2 +2xy$ ，可以这样：

from sympy import expand, factor
expanded_expr = expand(x*expr)
expanded_expr

输出结果是：

$x^2 + 2xy$

我们还可以将其展开式转换为因子的乘积的形式：

factor(expanded_expr)

输出的结果是：

$x(x + 2y)$

SymPy 不仅仅如此，它还可以支持 L^AT^E_X 公式：

alpha, beta, nu = symbols('alpha beta nu')
alpha, beta, nu

输出结果是：

$\alpha, \beta, \nu$

需要注意的是 symbols 定义的变量 x, y 等不再是字符串，您将其看作是数学中的变量即可。

9.1.2.2 求导，微分，定积分，不定积分，极限

先载入一些会用到的函数，方法，符号：

from sympy import symbols, sin, cos, exp, oo
from sympy import expand, factor, diff, integrate, limit
x, y, t = symbols('x y t')

在 SymPy 中使用 diff 对数学表达式求导，比如： $(\sin(x)e^x)' = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)$ ，使用 SymPy，则有：

diff(sin(x)*exp(x), x)

输出结果是：

$e^x \sin(x) + e^x \cos(x)$

在 SymPy 中使用 integrate 求解不定积分与定积分。比如， $\int e^x\sin(x) + e^x\cos(x) \text{d} x = \sin(x)e^x$ ，即：

integrate(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x), x)

输出结果：

$\sin(x)e^x$

定积分 $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x^2)\text{d} x = \frac{\sqrt{2 \pi}}{2}$

integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))

输出结果：

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi}}{2}$

在 SymPy 中使用 limit 求极限，比如 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ ，即：

limit(sin(x)/x, x, 0)

输出结果：

1

9.1.2.3 解方程

from sympy import solve, dsolve, Eq, Function

可以使用 SymPy 的 solve 求解 $f(x) = 0$ 这种类型的方程。比如，求解 $x^2 - 2 = 0$ ：

solve(x**2 - 2, x)

输出结果是：

$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$

您还可以使用 SymPy 的 dsolve 函数求解微分方程：

y = Function('y')
dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))

输出 $y'' - y = e^t$ 的结果：

$C_2 e^{-t} +(C_1 + \frac{t}{2})e^t$

小贴士：您可以使用 sympy.latex 将您的运算结果使用 L^AT^E_X 的形式打印出来：

from sympy import latex
latex(Integral(cos(x)**2, (x, 0, pi)))

输出结果：

\int\limits_{0}^{\pi} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

9.1.3 使用 SymPy 求值

在 9.4.2 中我们已经介绍了 SymPy 的大多数符号运算机制，接下来将讨论如何通过“赋值”（数学中的变量赋值）来获取表达式的值。如果您想要为表达式求值，可以使用 subs 函数（Substitution，即置换）：

x = symbols('x')
expr = x + 1
expr.subs(x, 2)

输出的结果为：

3

正是我们想要得到的预期结果。

也可以使用 subs 函数作为参数置换，比如：

在 9.1.2.3 中出现的符号 Eq 是用来表示两个数学表达式的相等关系。比如， $x + 1 = 4$ ，可以这样：

Eq(x+1, 4)

输出结果：

$x+1=4$

又比如， $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ ，可以这样：

Eq((x + 1)**2, x**2 + 2*x + 1)

输出结果：

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

如果您想要判断两个数学表达式是否相等，您有两种方式。下面我们来判断 $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$

方式一：使用 equals。

a = cos(x)**2 - sin(x)**2
b = cos(2*x)

a.equals(b)

输出结果为 True 符合预期。

方式二：使用 simplify 化简等式：

simplify(a - b)

输出结果为 0 也符合预期。

当然，也可以作图：

9.1.4 使用 SymPy 做向量运算

在 SymPy 中分别使用 Point，Segment 来表示数学中的点与线段实体（entity）。

from sympy import Segment, Point
from sympy.abc import x
a = Point(1, 2, 3)
b = Point([2, 3])
c = Point(0, x)
a, b, c

输出结果是：

(Point3D(1, 2, 3), Point2D(2, 3), Point2D(0, x))

即 Point 用来表示数学中的点（向量）： $x=(x_1,\cdots,x_n) \in \mathbb{R}^{n}$ ，其中 $x_j \in \mathbb{R},\, 1\leq j \leq n$ 。对于 Segment(x1,x2)中的参数 x1，x2 可以是 Point 实例，也可以是元组或者列表，array 等。但是 x1 与 x2 代表的点的维度必须一样。Segment(x1,x2) 表示一个有向的线段，即矩形的对角线方向为 $x_2 - x_1$ 。比如，定义下图9.4.1的实体：

x1 = Point(1,1)
x2 = Point(2,2)
s = Segment(x1,x2)

图9.1.1 Segment 示意图

图中的有向对角线（向量）可以通过 s.direction 进行计算：

s.direction

输出结果为：

𝑃𝑜𝑖𝑛𝑡2𝐷(1,1)

即向量 $x_2 - x_1$ 。在许多领域中，一般将水平向右作为 $X$ 轴，水平向下作为 $Y$ 轴。左上角作为原点 $(0,0)$ 。

有了对角线的方向，便可以计算矩形框的宽与高：

w, h = s.direction

由于 Point 指代数学中的向量，故而其存在加法、减法、数乘以及内积运算，它们均被重载为 Python 的运算符。比如，我们定义向量 $a,b,c$ ，且 $a+b=c$ ，可有：

a = Point(0,1)
b = Point(1,0)
c = Point(1,1)

下面我们对它们进行加法运算：

a + b == c

输出结果为 True 符合预期。同样有：

a - b, c * 2, a.dot(c)

输出结果为：

(Point2D(-1, 1), Point2D(2, 2), 1)

所有结果均符合预期。下面我们再来看看 Segment：

ab = Segment(a, b)
ac = Segment(a, c)
ab.direction, ac.direction

输出的结果是：

(Point2D(1, -1), Point2D(1, 0))

我们可以计算 ab 与 ac 的方向向量的夹角余弦：

ab.direction.dot(ac.direction) / (ab.length * ac.length)

输出结果为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a||b|}$ 。很容易求得 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 。更方便的是，Segment 提供了函数直接计算夹角：

ab.angle_between(ac)

输出结果也是 $\frac{\pi}{4}$ 。是不是很方便？如果您想要获取 Segment 实例的全部点可以调用 ab.points，分别调取各点则可以使用 ab.p1 与 ab.p2。

9.2 一个案例：实现图像局部 resize 保持高宽比不变

下面我们利用 9.4 节学习的东西构造一个实现图像局部 resize 保持高宽比不变的模型。

题设：假设有一张图片 $I$ 的尺寸为 $(W_I, H_I)$ ， $I$ 存在一个目标物 $O$ ， $O$ 的尺寸为 $(W, H)$ 。
目标：将 $O$ resize 为尺寸是 $(w,h)$ ，而约束条件是保证 resize 之后的边界为 $w_m,h_m$ （注意：这里的 $h_m$ 表示下边界长度）。需要尽可能保持 resize 之后的图片块宽高比不变，即满足：

$\frac{W}{H} = \frac{w - 2w_m}{h - h_m - h_p} \;\; (\text{公式 9.5.1})$

其中 $h_p$ 指的是上边界的长度。这里只有 $h_p$ 的未知量，我们可以直接求出：

$h_p = h - h_m - \frac{W - 2w_m}{W} H \;\; (\text{公式 9.5.2})$

为了保证 resize 的一致性，需要在原图补边 $H_m, W_m, H_p$ 对应于 $h_m, w_m, h_p$ 。下面给出它们的计算公式：

$\frac{w}{h} = \frac{W + 2W_m}{H + H_m + H_p} \;\; (\text{公式 9.5.3})$

同时还需要保证 resize 前后的宽高与边界的比例不变：

$\frac{W}{W_m} = \frac{w}{w_m} \;\; (\text{公式 9.5.4})\\ \frac{H}{H_m} = \frac{h}{h_m} \;\; (\text{公式 9.5.5})$

联合上述公式，便可以求出所有未知量。至此，模型建立完毕。下面考虑使用 Python 实现。

from sympy import Point, Segment, symbols, Eq, solve
from dataclasses import dataclass

@dataclass
class Resize:
    W: int
    H: int
    w: int
    h: int
    w_m: int
    h_m: int

    def model(self):
        H_m, W_m, H_p, h_p = symbols("H_m, W_m, H_p, h_p")
        eq1 = Eq(self.W/self.H, (self.w - 2 * self.w_m)/(self.h - self.h_m - h_p))
        eq2 = Eq(self.w/self.h, (self.W + 2 * W_m)/(self.H + H_m + H_p))
        eq3 = Eq(self.W/W_m, self.w/self.w_m)
        eq4 = Eq(self.H/H_m, self.h/self.h_m)
        R =  solve([eq1, eq2, eq3, eq4], [H_m, W_m, H_p, h_p])
        return R

# 传入已知量
W, H = 100, 100
w, h = 32, 32
w_m, h_m = 5, 5
# 模型建立
r = Resize(W, H, w, h, w_m, h_m)
# 模型求解
R = r.model()
# 查看求解结果
R

输出结果为：

{H_m: 15.6250000000000,
 W_m: 15.6250000000000,
 H_p: 15.6250000000000,
 h_p: 5.00000000000000}

这样我们完成了设定的目标。为了更直观，从网上找一张猫的图片作为例子。为了可视化的方便，我们需要定义一个画边界框的函数：

def bbox_to_rect(bbox, color):
    # 将边界框(左上x, 左上y, 右下x, 右下y)格式转换成matplotlib格式：
    # ((左上x, 左上y), 宽, 高)
    return plt.Rectangle(
        xy=(bbox[0], bbox[1]), width=bbox[2]-bbox[0], height=bbox[3]-bbox[1],
        fill=False, edgecolor=color, linewidth=1)

该函数的参数 bbox 取值为 $(x_{\text{左上}}, y_{\text{左上}}, x_{\text{右下}}, y_{\text{右下}})$ ，color 指定框的颜色。

from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline
# 读取图片
img = plt.imread("cat.jpg")
bbox = [65, 25, 235, 175] # 框的坐标
fig = plt.imshow(img)
fig.axes.add_patch(bbox_to_rect(bbox, 'blue'))
plt.show()

输出结果为：

图9.2.1 一张猫的图片

数组 img 指代 $I$ ，而图中的“猫”（即 $O$ ）我们可以使用切片的方式获取，即 img[bbox[1]:bbox[3]+1,bbox[0]:bbox[2]+1]（这里需要注意，切片的第一维度为高），即：

patch = img[bbox[1]:bbox[3]+1,bbox[0]:bbox[2]+1]
plt.imshow(patch)
plt.show()

输出结果为：

图9.2.2 猫的切片，简称**猫片**，即图像块

我们可以直接求得猫片的宽和高：h, w = patch.shape[:2]，但是，patch 是由 bbox 获取的，故而，我们也可以直接求得：

def get_aspect(bbox):
    '''
    计算 bbox 的宽和高
    '''
    # 加 1 是因为像素点是的尺寸为 1x1
    w = bbox[2] - bbox[0] + 1
    h = bbox[3] - bbox[1] + 1
    return w, h
# 获取宽高
W, H = get_aspect(bbox)

我们想要将猫片 resize 为 $(480, 480)$ ，则可以设定：

w, h = 480, 480
w_m, h_m = 5, 5

接着，计算边界：

r = Resize(W, H, w, h, w_m, h_m)
R = r.model()
H_m, W_m, H_p, h_p = R.values()

由于这里获取的值是浮点数，我们需要将其转换为整数：

def float2int(*args):
    return [int(arg)+1 for arg in args]
# 获取整数型数据
H_m, W_m, H_p, h_p = float2int(*R.values())

最后，我们原图与 resize 之后的图片展示如下：

import cv2
patch = img[bbox[1]-H_p:bbox[3]+1+H_m,bbox[0]-W_m:bbox[2]+1+W_m]
resize = cv2.resize(patch, (w, h))
plt.imshow(patch)
plt.title("origin")
plt.show()
plt.imshow(resize)
plt.title("resize")
plt.show()

输出结果为：

图9.2.3 原图

图9.2.4 resize 之后的图片

本章的代码逻辑并不是很严谨，主要是提供如何一个创建计算机视觉软件的思路，您仔细研究本章的软件设计思路将会收获很多的。

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