虽然前段时间稍微了解过Policy Gradient，但后来发现自己对其原理的理解还有诸多模糊之处，于是希望重新梳理一番。
Policy Gradient的基础是强化学习理论，同时我也发现，由于强化学习的术语众多，杂乱的符号容易让我迷失方向，所以对我自己而言，很有必要重新确立一套统一的符号使用习惯。UCL的David Silver可谓是强化学习领域数一数二的专家（AlphaGo首席研究员），他的课程在网上也大受欢迎，因此我接下来用于讨论问题的符号体系就以他的课件为准。
Markov Decision Process (MDP)
在概率论和统计学中，Markov Decision Processes (MDP) 提供了一个数学架构模型，刻画的是“如何在部分随机，部分可由决策者控制的状态下进行决策”的过程。强化学习的体系正是构建在MDP之上的。
MDP的定义
有了这样的定义，自然引申出policy和return的概念：
policy的定义
return的定义
Value function
Value function也是MDP中一个非常重要的概念，衡量的是从某个状态开始计算的return期望值，但容易令初学者混淆的是，value function一般有两种定义方式。
一种叫state-value function：
另一种叫action-value function，会显式地将当前采取的动作纳入考量之中：
从定义上看，两者显然可以互相转换：
另外，如果仔细观察return的定义
，
会发现这两种value function其实都可以写成递归的形式：
这又被称为Bellman Equation，把value function分解成了immediate reward加上后续状态的discounted value。
Policy Gradient
强化学习的一类求解算法是直接优化policy，而Policy Gradient就是其中的典型代表。
首先需要讨论一下policy的目标函数。一般而言，policy的目标函数主要有三种形式：
-
在episodic环境（有终止状态，从起始到终止的模拟过程称为一个episode，系统通过一次次地模拟episode进行学习）中，衡量从起始状态开始计算的value：
-
在continuing环境（没有终止状态，是一个无限的过程）中，衡量value均值：
-
不管在哪个环境中，只关注immediate reward，衡量的是每个时刻的平均reward：
以上的
是指状态的概率分布，与policy有关，并且是stationary distribution of Markov chain，意思是这个概率分布不会随着MDP的时间推进而变化。
虽然这三种目标函数形式不同，但最后分析得到的梯度表达式都是一样的。
对目标函数求梯度会用到一个很重要的trick，叫likelihood ratios：
对目标函数求梯度最终都是要转化为对policy求梯度，而这个转化的作用是为了凑出
项，便于后续化简出期望项。
一个简单的例子是考虑最基本的情况——单步的MDP，在执行了一个时间单位之后就终止，所得的reward就等于这个时刻的immediate reward，记为
目标函数就采用上述第三种的形式：
利用likelihood ratios推导出梯度是：
有个叫Policy Gradient Theorem的理论表明，无论采用上述哪种目标函数，在多步的MDP下，都有：
在实际的优化中，采用stochastic gradient ascent算法，对
进行无偏采样，记为
，因此可以把期望项去掉，参数更新的公式为：
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