二次互反律

二次互反律

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-04 15:34 被阅读0次

二次剩余

二次互反律

定理1（二次互反律）

设 $p,q$ 是两个不同的奇素数，则
$\left(\dfrac{q}{p}\right)\left(\dfrac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}=\begin{cases} -1,&如\;p\equiv q\equiv3\pmod{4}\\ 1,&其他情形. \end{cases}$

引理（高斯引理）

设 $p$ 是奇素数， $p\not|a,\,r=\dfrac{p-1}{2}.$ 记 $\mu$ 是数
$a,2a,\cdots,ra$
中模 $p$ 的最小正剩余大于 $\dfrac{p}{2}$ 的个数，则
$\left(\dfrac{a}{p}\right)=(-1)^{\mu}$

定理2

设 $q$ 是一个奇素数.
(i) 如 $q\equiv 1\pmod{4}$ ，则 $q$ 是模 $p$ 的二次剩余的充分必要条件是 $p\equiv r\pmod{q}$ ，其中 $r$ 是模 $q$ 的任一个二次剩余.

(ii) 如 $q\equiv3\pmod{4}$ ，则 $q$ 是模 $p$ 的二次剩余的充分必要条件是 $p\equiv\pm b^2\pmod{4q}$ ，其中 $b$ 是任意奇整数，且 $(b,q)=1$ .

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