GEB20210212

先由两个小故事引入：

在古希腊，那位飞毛腿勇士阿基里斯，永远无法跑的过那只憨憨的乌龟。
在古代的中国，庄子的一尺之锤，日取其半，万世不竭。

阿基里斯和小乌龟

我们在现实的生活中，那只憨憨的乌龟很快就被我们追上，庄子的一尺之捶几天也就可以用完了。可是，如果我们把它放到我们的脑海意识中，我们发现乌龟居然追不上了，一尺的捶也用不完了。看是不是很奇怪？
【组成我们人体的粒子到底是无数个还是有数个？最小的粒子是否可以继续分割？】
【伟大的量子理论也是由此开始的。】

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第一章 WU谜题

【形式系统】
在逻辑与数学中，一个形式系统（英语：Formal system）是由两个部分组成的，一个形式语言加上一个推理规则或转换规则的集合。一个形式系统也许是纯粹抽象地制定出来，只是为了研究其自身。另一方面，也可能是为了描述真实现象或客观现实的领域而设计的。

你能产生WU吗？
首先我会提供你一个符号串（WJ），然后告知你一些规则，通过运用规则将一个符号串变成另外一个。如果某条规则在某处是适用的，并且你可以选择使用或者不使用，如果有多条规则适用的话，那么完全取决于你自己。

规则1：如果一个符号串结尾为J,则可以在其后面再加一个U。例如：符号串WJ，那么按照规则1，可以得到 WJU。
规则2：如果一个符合串为Wx（x代表任意长度符号穿），则可以得到Wxx。例如：符号串WUW，可以得到WUWUW。
规则3：如果JJJ出现再你的符号穿中，那么可以将JJJ替换为U。例如：符号串WJJJJ,可得到WUJ或者WJU。
规则4：如果你的符号串中包含UU,那么你就可以去掉它。例如：符号串UUU，可以得到U。

好了，规则清楚了，下面我们来试着推导一个符号串， WUJJU怎么产生出来的？
（1）WJ ------这是我们所拥有的符号串，称之为公理
（2）WJJ ------使用规则2，从（1）中得到
（3）WJJJJ ------使用规则2，从（2）中得到
（4）WJJJJU ------使用规则1，从（3）中得到
（5）WUJU ------使用规则3，从（4）中得到
（6）WUJUUJU -----使用规则2，从（5）中得到
（7）WUJJU ------使用规则4，从（6）中得到
那么我们把（2）-（7）形成新符号串称之为 定理

多数人解WU谜题的办法是：先相当盲目的推出一些定理，看一看得到的会是什么，很快地，他们就开始注意到他们产生出来的定理的一些性质，人的智能就再此处开始起作用了。人与机器的区别就在于，人会去观察和总结这些产出的定理并加以验证，如果我们清楚的发现是无法产生我们想要的符号串时，我们便会中止我们的计算行为，而计算机目前是无法做到这一点的。

当然我们还有一种方法，那就是穷举法
第一步：公理 WJ 我们把全部的规则使用一次，这样我们就会得到新的定理：WJU，WJJ。
第二步：我们将WJU，WJJ分别使用应用一次全部规则，可以得到新的定理：WJUJU，WJJU，WJJJJ。
第三步：我们将WJUJU，WJJU，WJJJJ，分别使用应用一次全部规则，可以得到新的定理：WJUJUJUJU，WJJUJJU，WJJJJU，WJJJJJJJJ，WUJ，WJU，
第N步：...
这样的话，我们就可以得到所有的定理。

WU系统所有定理树.jpg

下面我们来聊一下欧几里得的一个定理：它只有两步，便能得到结论

(A) 同等于一物的彼此亦相等。
(B) 这个三角形的两条边同等于一物。
(Z) 这个三角形的两条边彼此相等。

上面的逻辑推论我想大家都会接受吧，所以我们只需要认为A和B为真，则必定认定Z也是真的。假如，我们不认为A和B为真呢？那么是不是就无法得到Z这个结论？看来上面的定理中，缺少是一条A,B为真的步骤，我们称之为C吧。

(A) 同等于一物的彼此亦相等。
(B) 这个三角形的两条边同等于一物。
(C) 如果A,B都为真的话。
(Z) 这个三角形的两条边彼此相等。

好了，这下应该不会有问题了吧，等等，假如有人不认为A,B和C为真呢?我们只好在推导步骤中，继续加入D:如果A,B和C都为真的话。啊哦，问题来了，如果我们想要得到结论Z，那么就得我们需要加入E，F，G...等无数个步骤。糟糕，又一个“芝诺悖论”

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第二章 数学中的意义与形式

1.pq系统

定义：pq系统中包括三个不同的符号。
p，q，- 即字母p，q和短杠。

我们知道pq系统中存在着无穷多条公理。由于不能把它们全部写出来，我们只能由另外的方法描述它们。实际上我们不仅需要对于公理的描述，还需要一种辨别某个给出的符号串是否是一条公理的方法。对于公理仅仅做一个描述也许能充分的刻划它们，但是这种刻划是很弱的——与WJU系统中对于定理的刻划所存在的问题是一样的。我们并不想仅仅为确定某个符号串是否是公理而花费一段不知道有多长的（甚至是无限长的）时间。所以，我们将给公理这样下定义，使得对于由p，q和短杠所组成的符号串是否是一条公理，有一个明显的判定过程。

定义：只要 x 仅由一串短杠组成，那么 x-qxp- 就是一条公理。

请注意 “x” 在两次出现时必须是代表同一串短杠。比如：---q--p- 是一条公理。
当然 “x-qxp-”这个表达式本身并不是一条公理（因为 “x” 不属于pq系统）。它更像是一个铸出所有公理的模子——它被称做公理模式。

pq系统只有一条生成规则：

规则：假设x，y和z都代表只包含短杠的特定的符号串，并且假设xqypz是一条已知的定理，那么x-qypz-就是一条定理。
比如让 x 是 “-”，y 是 “--”，z 是 “---” 这条规则就是：
如果 -q--p---是一条定理，则 --q--p----也是一条定理。

正像生成规则通常的形式那样，这个陈述在一个符号串是否是定理与另一个符号串是否是定理这两者之间建立了因果关系，但并不断定这些符号串本身是否是定理。
2.判定过程
我们知道pq系统中的每一条定理都是有三组分离的短杠，并且起分离作用的成分依次为q，p。（这可以由基于“继承性”的一个论证证明，就是证明WJU系统中的定理都是以W开头的那种方法）。也就是说，仅仅从形式上，我们就可以排除像 ---------q--p--p--p-- 这样的符号串，它并不是一条定理。
那么是 从形式上 呢？
不管在什么样的情况下，我们把任何一个以一组短杠开头，然后有一个q，接着是第二组短杠，然后是p，最后再跟上另外一组短杠，这样的符号串都叫做“构型良好的”（简称良构）符号串。
每个定理都会有一个判定过程，比如，假定给了一个符号串，首先，检查它是不是一条公理（我们来假设有一个判定公理的判定过程——否则一切就都没有希望啦）。如果它是一条公理，那么它也可以称作是一条定理，这个测试就完毕。于是再假设它不是一条公理，那么，它要是一条定理，就一定是从一个较短的符号串得出来的，在逐条地试用各条规则时，不仅能准确地找出可能产生那个符号串的规则，而且还能准确地找出哪一个较短的符号串会是“家谱”中它的上一代。用这种方法，把问题“归约”成为去确定几个新的，但是较短的符号串是否都是定理，然后对它们依次的进行同样的测试。可能出现的最坏情形时产生出大量的，越来越多的，但是越来越短的需要测试的符号串，当以这样方式一步一步的回溯时，就一定会距离一切定理的源泉——公理模式越来越近。
3.自底向上之别于自顶向下