连续函数的运算与初等函数的连续性

作者: yanyuanfen | 来源:发表于2019-02-21 00:16 被阅读1次

一、连续函数和和、差、积、商的连续性

定理1 设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则它们的和（差） $f\pm g$ 、积 $f \cdot g$ 及商 $\frac{f}{g}$ (当 $g(x_0) \neq 0$ )都在点 $x_0$ 连续。

二、反函数与复合函数的连续性

定理2 如果函数 $y=f(x)$ 在区间 $I_x$ 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在对应的区间 $I_y = { y | = y=f(x),x \in I_x}$ 上单调增加（或单调减少）且连续。

定理3 设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $U^0 {x_0} \subset D_{f.g}$ . 若 $\lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = u_0$ ，而函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则
$\lim_{x \rightarrow x_0} f[g(x)] = \lim_{u \rightarrow u_0} f(u) = f(x_0).$

定理4 设函数 $y=f[g(x)]$ 由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成， $U(x_0)\subset D_{f.g}$ . 若函数 $u=g(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，且 $g(x_0)=u_0$ ，函数 $y=f(u)$ 在 $u=u_0$ 连续，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 也在 $x=x_0$ 连续。

三、初等函数的连续性

综合起来得到：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

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