计算机数学基础

作者: Yuri7 | 来源:发表于2019-06-14 15:54 被阅读0次

转自知乎黄广海博士，侵删

一、高等数学

1.导数定义

导数和微分的该你拿
$f'(x_0)=lim_{\Delta\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ (1)

2.左右倒数的几何意义和物理意义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左，右导数分别定义为:
左导数: $f'_-(x_0)=lim_{\Delta\rightarrow0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, (x=x_0+\Delta x)$
右导数: $f'_+(x_0)=lim_{\Delta\rightarrow0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3.函数的可道姓与连续性之间的关系

Th1: 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微 $\Leftrightarrow$ 函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导
Th2: 若函数在 $x_0$ 处可导，则 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。
Th3: $f'(x)$ 存在 $\Leftrightarrow f'_-(x_0)=f'_+(x_0)$

4.平面曲线的切线和法线

切线方程: $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$ 法线方程: $y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0), f'(x_0)\ne0$

5.四则运算法则

设函数 $u=u(x),v=v(x)$ 在点 $x$ 可导则
(1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$
(2) $(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本导数和为分表

(1) $y=c$ (常数)
${y}'=0， dy=0$

(2) $y={{x}^{\alpha }} (\alpha 为实数)$
${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ ， $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$

(3) $y={{a}^{x}}$
${y}'={{a}^{x}}\ln a$ ， $dy={{a}^{x}}\ln adx$
特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}， d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

(4) ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$
$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例: $y=\ln x，(\ln x{)}'=\frac{1}{x} ，d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$
${y}'=\cos x ，d(\sin x)=\cos xdx， y=\cos x$

(6) $y=\cos x$
${y}'=-\sin x， d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$
${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x， d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$

(8) $y=\cot x$
${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x， d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$

(9) $y=\sec x$
${y}'=\sec x\tan x ，d(\sec x)=\sec x\tan xdx$

(10) $y=\csc x$
${y}'=-\csc x\cot x， d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$

(11) $y=\arcsin x$
${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}， d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(12) $y=\arccos x$
${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}， d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$
${y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}} ，d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$
${y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}， d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(15) $y=shx$
${y}'=chx ，d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$
${y}'=shx， d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设 $y=f(x)$ 在点 $x$ 的某邻域内单调连续，在点 $x$ 处可导且 ${f}'(x)\ne 0$ ，则其反函数在点 $x$ 所对应的 $y$ 处可导，并且有 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则:若 $\mu =\varphi (x)$ 在点 $x$ 可导,而 $y=f(\mu )$ 在对应点 $\mu ( \mu =\varphi (x) )$ 可导,则复合函数 $y=f(\varphi (x))$ 在点 $x$ 可导,且 ${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

(3) 隐函数导数 $\frac{dy}{dx}$ 的求法一般有三种方法：
1)方程两边对 $x$ 求导，要记住 $y$ 是 $x$ 的函数，则 $y$ 的函数是 $x$ 的复合函数。
例如 $\frac{1}{y} ， {{y}^{2}} ， ln y ， {{{e}}^{y}}$ 等均是 $x$ 的复合函数。
对 $x$ 求导应按复合函数连锁法则做。
2)公式法：由 $F(x,y)=0$ 知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$ ,其中， ${{{F}'}_{x}}(x,y) ， {{{F}'}_{y}}(x,y)$ 分别表示 $F(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数.
3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1） $({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$ .
（2） $(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（3） $(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（4） $({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$
（5） $(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$
（6）莱布尼兹公式：若 $u(x)\,,v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则
${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$ ，其中 ${{u}^{({0})}}=u ， {{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，，泰勒公式

Th1:(费马定理)
若函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有：
$f(x)\le f({{x}_{0}})$ 或 $f(x)\ge f({{x}_{0}})$ ,
(2) $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处可导,则有 ${f}'({{x}_{0}})=0$

Th2:(罗尔定理)
设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续；
(2)在 $(a,b)$ 内可导；
(3) $f(a)=f(b)$
则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 ${f}'(\xi )=0$

Th3:(拉格朗日中值定理)
设函数 $f(x)$ 满足条件：
(1)在 $[a,b]$ 上连续；
(2)在 $(a,b)$ 内可导；
则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4:(柯西中值定理)
设函数 $f(x) ， g(x)$ 满足条件：
(1) 在 $[a,b]$ 上连续；
(2) 在 $(a,b)$ 内可导且 ${f}'(x) ， {g}'(x)$ 均存在，且 ${g}'(x)\ne 0$ .
则在 $(a,b)$ 内存在一个 $\xi$ ，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必达法则

法则Ⅰ ( $\frac{0}{0}$ 型)
设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ ;
$f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的邻域内可导，(在 ${{x}_{0}}$ 处可除外)且 ${g}'\left( x \right)\ne$ 0 ;
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。
则:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 。

法则 ${{\text I}'}$ ( $\frac{0}{0}$ 型)
设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件：
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$ ;
存在一个 $X>0$ ,当 $\left| x \right|>X$ 时, $f\left( x \right),g\left( x \right) 可导,且 {g}'\left( x \right)\ne 0$ ;
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。
则:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$

法则Ⅱ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)
设函数 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 满足条件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty ; f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在 ${{x}_{0}}$ 处可除外)且 ${g}'\left( x \right)\ne 0 ; \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或 $\infty$ )。
则： $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 。同理法则 ${\text I{\text I}'}$ ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)仿法则 ${{\text I}'}$ 可写出。

11.泰勒公式

设函数 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的某邻域内具有 $n+1$ 阶导数，则对该邻域内异于 ${{x}_{0}}$ 的任意点 $x$ ，在 ${{x}_{0}}$ 与 $x$ 之间至少存在一个 $\xi$ ，使得： $f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$
其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$ 称为 $f(x)$ 在点 ${{x}_{0}}$ 处的 $n$ 阶泰勒余项。
令 ${{x}_{0}}=0$ ，则 $n$ 阶泰勒公式： $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x) ……(1) 其中 {{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}} ， \xi$ 在0与 $x$ 之间，(1)式称为麦克劳林公式。

常用五种函数在 ${{x}_{0}}=0$ 处的泰勒公式
(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$
或 $=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$
或 $=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$
或 $=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$
或 $=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}}) aa$

(5) $a {{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}} +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$ .
或 ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断

Th1: 设函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 区间内可导，如果对 $\forall x\in (a,b)$ ，都有 $f\,'(x)>0$ （或 $f\,'(x)<0$ ），则函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内是单调增加的（或单调减少）。

Th2: （取极值的必要条件）设函数 $f(x) 在 {{x}_{0}}$ 处可导，且在 ${{x}_{0}}$ 处取极值，
则 $f\,'({{x}_{0}})=0$ 。

Th3: （取极值的第一充分条件）设函数 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的某一邻域内可微，且 $f\,'({{x}_{0}})=0$ （或 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处连续，但 $f\,'({{x}_{0}})$ 不存在。）
(1) 若当 $x$ 经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f\,'(x)$ 由“+”变“-”，则 $f({{x}_{0}})$ 为极大值；
(2) 若当 $x$ 经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f\,'(x)$ 由“-”变“+”，则 $f({{x}_{0}})$ 为极小值；
(3) 若 $f\,'(x)$ 经过 $x={{x}_{0}}$ 的两侧不变号，则 $f({{x}_{0}})$ 不是极值。

Th4: (取极值的第二充分条件)设 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 处有 $f''(x)\ne 0$ ，且 $f\,'({{x}_{0}})=0$ ，则:
当 $f'\,'({{x}_{0}})<0$ 时， $f({{x}_{0}})$ 为极大值；
当 $f'\,'({{x}_{0}})>0$ 时， $f({{x}_{0}})$ 为极小值。
注：如果 $f'\,'({{x}_{0}})<0$ ，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线
若 $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$ ，或 $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$ ，则 $y=b$ 称为函数 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

(2)铅直渐近线
若 $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$ ，或 $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$ ，则 $x={{x}_{0}} 称为 y=f(x)$ 的铅直渐近线。

(3)斜渐近线
若 $a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$ ，则
$y=ax+b$ 称为 $y=f(x)$ 的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上 $f''(x)<0$ （或 $f''(x)>0$ ），则 $f(x)$ 在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐点的判别定理1)若在 ${{x}_{0}}$ 处 $f''(x)=0$ ，（或 $f''(x)$ 不存在），当 $x$ 变动经过 ${{x}_{0}}$ 时， $f''(x)$ 变号，则 $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

Th3: (拐点的判别定理2)设 $f(x)$ 在 ${{x}_{0}}$ 点的某邻域内有三阶导数，且 $f''(x)=0 ， f'''(x)\ne 0$ ，则 $({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ 为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$

16.曲率

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的曲率 $k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$ 。
对于参数方程 $\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right., k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$ 。

17.曲率半径

曲线在点 M 处的曲率 $k(k\ne 0)$ 与曲线在点 M 处的曲率半径 \rho 有如下关系： $\rho =\frac{1}{k}$ 。

二、线性代数

行列式

1.行列式按行（列）展开定理
(1) 设 $A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$ ，则： $a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$

或 $a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$ ，即 $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E$ ，

其中： $A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$

$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

(2) 设 A,B 为 n 阶方阵，则 $\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right| ，但 \left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$ 不一定成立。

(3) $\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$ , A 为 n 阶方阵。

(4) 设 A 为 n 阶方阵， $|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$ （若 A 可逆）， $|A^{*}| = |A|^{n - 1} n \geq 2$

(5) $\left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$
， A,B 为方阵，但 $\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$ 。

(6) 范德蒙行列式 $D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

设 A 是 n 阶方阵， $\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n) 是 A 的 n 个特征值，则 |A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$

矩阵

矩阵： $m \times n 个数 a_{{ij}}$ 排成 m 行 n 列的表格 $\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix}$ 称为矩阵，简记为 A ，或者 $\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n}$ 。若 m = n ，则称 A 是 n 阶矩阵或 n 阶方阵。

矩阵的线性运算

1.矩阵的加法
设 $A = (a_{{ij}}) , B = (b_{{ij}})$ 是两个 $m \times n$ 矩阵，则 $m \times n$ 矩阵 $C = (c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}$ 称为矩阵 $A$ 与 $B$ 的和，记为 $A + B = C$ 。

2.矩阵的数乘
设 $A = (a_{{ij}})$ 是 $m \times n$ 矩阵， $k$ 是一个常数，则 $m \times n$ 矩阵 $(ka_{{ij}})$ 称为数 $k$ 与矩阵 $A$ 的数乘，记为 ${kA}$ 。

3.矩阵的乘法
设 $A = (a_{{ij}})$ 是 $m \times n$ 矩阵， $B = (b_{{ij}})$ 是 $n \times s$ 矩阵，那么 $m \times s$ 矩阵 $C = (c_{{ij}})$ ，其中 $c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}$ 称为 $AB$ 的乘积，记为 $C = AB$ 。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}} 、 \mathbf{A}^{\mathbf{-1}} 、 \mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 三者之间的关系

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1}$
但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$ 不一定成立。

(3) $\left( A^{*} \right)^{*} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3) ， \left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$
但 $\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$ 不一定成立。

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$

5.有关 \mathbf{A}^{\mathbf{}} 的结论*

(1) $AA^{*} = A^{*}A = |A|E$

(2) $|A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)$

(3) 若 $A$ 可逆，则 $A^{*} = |A|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{|A|}A$

(4) 若 $A$ 为 n 阶方阵，则：

$r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}$

6.有关 \mathbf{A}^{\mathbf{- 1}} 的结论

A 可逆 $\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$ 可以表示为初等矩阵的乘积； $\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$ 。

7.有关矩阵秩的结论

(1) 秩 $r(A)$ =行秩=列秩；

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n)$ ;

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$ ;

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B)$ ;

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B))$ ，特别若 $AB = O$
则： $r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若 $A^{- 1}$ 存在 $\Rightarrow r(AB) = r(B); 若 B^{- 1}$ 存在， $\Rightarrow r(AB) = r(A)$ 。

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解

8.分块求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ；
$\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$ ；

$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$ ；
$\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$

这里 A ， B 均为可逆方阵。

向量

1.有关向量组的线性表示
(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关， $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} ， \beta$ 线性相关 $\Leftrightarrow \beta$ 可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示。
(3) $\beta$ 可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示
$\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2.有关向量组的线性相关性
(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.
(2) ① n 个 n 维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ 线性无关 $\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0$ ，
n 个 n维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$ 线性相关
$\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。
② n+1 个 n 维向量线性相关。
③ 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3.有关向量组的线性表示
(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性相关 \Leftrightarrow$ 至少有一个向量可以用其余向量线性表示。
(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关， $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s} ， \beta$ 线性相关 $\Leftrightarrow\beta$ 可以由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示。
(3) $\beta可以由\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$

4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
设 $r(A_{m \times n}) =r$ ，则 A 的秩 r(A) 与 A 的行列向量组的线性相关性关系为：
(1) 若 $r(A_{m \times n}) = r = m$ ，则 A 的行向量组线性无关。
(2) 若 $r(A_{m \times n}) = r < m$ ，则 A 的行向量组线性相关。
(3) 若 $r(A_{m \times n}) = r = n$ ，则 A 的列向量组线性无关。
(4) 若 $r(A_{m \times n}) = r < n$ ，则 A 的列向量组线性相关。

5. $\mathbf{n}$ 维向量空间的基变换公式及过渡矩阵
若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} 与 \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 是向量空间 V 的两组基，则基变换公式为：
$(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{{nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C$
其中 C 是可逆矩阵，称为由基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n} 到基 \beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵。

6.坐标变换公式
若向量 $\gamma$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 与基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的坐标分别是
$X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T} ， Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$ ，则向量坐标变换公式为 $X = CY 或 Y = C^{- 1}X$ ，其中 C 是从基 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 到基 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 的过渡矩阵。

7.向量的内积
$(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha$

8.Schmidt正交化
若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关，则可构造 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$ 使其两两正交，且 $\beta_{i}$ 仅是 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$ 的线性组合 $(i= 1,2,\cdots,n) ，再把 \beta_{i}$ 单位化，记 $\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|} ，则 \gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$ 是规范正交向量组。
其中 $\beta_{1} = \alpha_{1} ， \beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} ， \beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，
............
$\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}$

9.正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则
线性方程组 $\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{{nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$ ，如果系数行列式 $D = \left| A \right| \neq 0$ ，
则方程组有唯一解， $x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$ ，其中 $D_{j}$ 是把 D 中第 j 列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2.n 阶矩阵 A 可逆 $r(A_{m \times n}) = m$ 只有零解。 $\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$ 总有唯一解，一般地， $r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$ 只有零解。

3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构
(1) 设 A 为 $m \times n$ 矩阵，若 $r(A_{m \times n}) = m$ ，则对 $Ax =b$ 而言必有 $r(A) = r(A \vdots b) = m$ ，从而 $Ax =b$ 有解。

(2) 设 $x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$ 为 $Ax = b$ 的解，则 $k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$ 当 $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$ 时仍为 $Ax =b$ 的解；但当 $k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$ 时，则为 $Ax =0$ 的解。特别 $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ 为 $Ax = b$ 的解； $2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$ 为 $Ax =0$ 的解。

(3) 非齐次线性方程组 ${Ax} = b 无解 \Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$ 不能由 A 的列向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性表示。

4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解
(1) 齐次方程组 ${Ax} = 0$ 恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此 ${Ax} = 0$ 的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是 $n - r(A)$ ，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t} 是 {Ax} = 0$ 的基础解系，即：

$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是 ${Ax} = 0$ 的解；
$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性无关；
${Ax} = 0$ 的任一解都可以由 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性表出。
$k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$ 是 ${Ax} = 0$ 的通解，其中 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ 是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质
(1) 设 $\lambda$ 是 A 的一个特征值，则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 有一个特征值分别为 ${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda}$ , 且对应特征向量相同（ $A^{T}$ 例外）。

(2)若 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$ 为 A 的 n 个特征值，则 $\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A|$ ,从而 $|A| \neq 0 \Leftrightarrow A$ 没有特征值。

(3)设 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$ 为 A 的 s 个特征值，对应特征向量为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ，
若: $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,
则: $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2.相似变换、相似矩阵的概念及性质
(1) 若 $A \sim B$ ，则
1) $A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}$

$|A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)$
$|\lambda E - A| = |\lambda E - B| ，对 \forall\lambda$ 成立

3.矩阵可相似对角化的充分必要条件
(1)设 A 为 n 阶方阵，则 A 可对角化 $\Leftrightarrow$ 对每个 $k_{i}$ 重根特征值 $\lambda_{i}$ ，有 $n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设 A 可对角化，则由 $P^{- 1}{AP} = \Lambda$ , 有 $A = {PΛ}P^{-1}$ ，从而 $A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

若 $A \sim B,C \sim D$ ，则 $\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$ 。
若 $A \sim B ，则 f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|$ ，其中 $f(A)$ 为关于 n 阶方阵 A 的多项式。
若 A 为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩( A )

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵
(1)相似矩阵：设 A,B 为两个 n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 P ，使得 $B =P^{- 1}{AP}$ 成立，则称矩阵 A 与 B 相似，记为 A \sim B 。

(2)相似矩阵的性质：如果 A \sim B 则有：

$A^{T} \sim B^{T}$
$A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若 A ， B 均可逆）
3) $A^{k} \sim B^{k}$ （ k 为正整数）
4) $\left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|$ ，从而 A,B 有相同的特征值
$\left| A \right| = \left| B \right|$ ，从而 A,B 同时可逆或者不可逆
秩 $\left( A \right) = 秩 \left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|$ ， A,B 不一定相似

二次型

1. $\mathbf{n}$ 个变量 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$ 的二次齐次函数
$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}} ，其中 a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ ，称为 n 元二次型，简称二次型. 若令 $x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{{nn}} \\\end{bmatrix}$ ,这二次型 f 可改写成矩阵向量形式 $f =x^{T}{Ax}$ 。其中 A 称为二次型矩阵，因为 $a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$ ，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵 A 的秩称为二次型的秩。

2.惯性定理，二次型的标准形和规范形
(1) 惯性定理
对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形
二次型 $f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax} 经过合同变换 x = {Cy} 化为 f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC} y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$ 称为 $f(r \leq n)$ 的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 r(A) 唯一确定。

(3) 规范形
任一实二次型 f 都可经过合同变换化为规范形 f = $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$ ，其中 r 为 A 的秩， p 为正惯性指数， r-p 为负惯性指数，且规范型唯一。

3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性
设 A 正定 $\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*} 正定； |A| >0$ , A 可逆； $a_{{ii}} > 0$ ，且 $|A_{{ii}}| > 0$
A ， B 正定 $\Rightarrow A +B$ 正定，但 ${AB} ， {BA}$ 不一定正定。
A 正定 $\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$
$\Leftrightarrow A$ 的各阶顺序主子式全大于零
$\Leftrightarrow A$ 的所有特征值大于零
$\Leftrightarrow A$ 的正惯性指数为 n
$\Leftrightarrow$ 存在可逆阵 P 使 $A = P^{T}P$
$\Leftrightarrow$ 存在正交矩阵 Q ，使 $Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix}$ ,
其中 $\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n 。正定 \Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$ 正定； $|A| > 0$ ,A 可逆； $a_{{ii}} >0$ ，且 $|A_{{ii}}| > 0$ 。

概率论和数理统计

随机事件和概率

1.事件的关系与运算
(1) 子事件： $A \subset B$ ，若 A 发生，则 B 发生。
(2) 相等事件： A = B ，即 $A \subset B$ ，且 $B \subset A$ 。
(3) 和事件： $A\bigcup B$ （或 A + B ）， A 与 B 中至少有一个发生。
(4) 差事件： A - B ， A 发生但 B 不发生。
(5) 积事件： $A\bigcap B$ （或 {AB} ）， A 与 B 同时发生。
(6) 互斥事件（互不相容）： $A\bigcap B=\varnothing$ 。
(7) 互逆事件（对立事件）：
$A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}$

2.运算律
(1) 交换律： $A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$
(2) 结合律： $(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$ ；
$(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$
(3) 分配律： $(A\bigcup B)\bigcap C=(A\bigcap C)\bigcup (B\bigcap C)$

3.德 $\centerdot$ 摩根律
$\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B} \overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}$

4.完全事件组

${{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}$ 两两互斥，且和事件为必然事件，即 ${{A}_{i}}\bigcap {{A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega$

5.概率的基本公式
(1)条件概率:
$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ ,表示 A 发生的条件下， B 发生的概率。

(2)全概率公式：
$P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}}),{{B}_{i}}{{B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{{B}_{i}}=\Omega$

(3) Bayes公式：
$P({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots$ ,n
注：上述公式中事件 ${{B}_{i}}$ 的个数可为可列个。

(4)乘法公式：
$P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})$
$P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})$

6.事件的独立性
(1) A 与 B 相互独立 $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$
(2) A ， B ， C 两两独立 $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(AC)=P(A)P(C) ;$
(3) A ， B ， C 相互独立 $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(AC)=P(A)P(C) ; P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

7.独立重复试验
将某试验独立重复 n 次，若每次实验中事件 A 发生的概率为 p ，则 n 次试验中 A 发生 k 次的概率为：
$P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}$

8.重要公式与结论

(1) $P(\bar{A})=1-P(A)$

(2) $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$

(3) $P(A-B)=P(A)-P(AB)$

(4) $P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}) , P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)$

(5)条件概率 $P(\centerdot |B)$ 满足概率的所有性质，例如：. $P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)$

$P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B) P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)$

(6)若 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}$ 相互独立，则 $P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})} ,P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}$

(7)互斥、互逆与独立性之间的关系： A 与 B 互逆 $\Rightarrow$ A 与 B 互斥，但反之不成立， A 与 B 互斥（或互逆）且均非零概率事件 $\Rightarrow A$ 与 B 不独立。

(8)若 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}$ 相互独立，则 $f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}}) 与 g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})$ 也相互独立，其中 $f(\centerdot ),g(\centerdot )$ 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.

随机变量及其概率分布

1.随机变量及概率分布
取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质
定义： $F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty$

性质：
(1) $0 \leq F(x) \leq 1$
(2) $F(x)$ 单调不减
(3) 右连续 $F(x + 0) = F(x)$
(4) $F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$

3.离散型随机变量的概率分布
$P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1$

4.连续型随机变量的概率密度
概率密度 f(x) ;非负可积，且:
(1) $f(x) \geq 0$
(2) $\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}$
(3) x 为 f(x) 的连续点，则:
$f(x) = F'(x)$ 分布函数 $F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}$

5.常见分布
(1) 0-1分布: $P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$

(2) 二项分布: $B(n,p) ： P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n$

(3) Poisson分布: $p(\lambda) ： P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots$

(4) 均匀分布 U(a,b) ： $f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}$

(5) 正态分布: $N(\mu,\sigma^{2}) ： \varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty$

(6)指数分布: $E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}$

(7)几何分布: $G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.$

(8)超几何分布: $H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)$

6.随机变量函数的概率分布
(1)离散型： $P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$
则: $P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$

(2)连续型： $X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)$
则: $F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx} ，f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$

7.重要公式与结论
(1) $X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2} ， \Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)$

(2) $X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})$

(3) $X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)$

(4) $X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)$

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

多维随机变量及其分布

1.二维随机变量及其联合分布
由两个随机变量构成的随机向量 (X,Y) ，联合分布为 $F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)$

2.二维离散型随机变量的分布
(1) 联合概率分布律 $P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots$

(2) 边缘分布律 $p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots$
$p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots$

(3) 条件分布律 $P\{ X = x_{i}|Y = y_{j}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}} P\{ Y = y_{j}|X = x_{i}\} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}$

3. 二维连续性随机变量的密度
(1) 联合概率密度 $f(x,y)$ ：

$f(x,y) \geq 0$
$\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1$

(2) 分布函数： $F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$

(3) 边缘概率密度： $f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}} f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(4) 条件概率密度： $f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)} f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$

4.常见二维随机变量的联合分布
(1) 二维均匀分布： $(x,y) \sim U(D)$ , $f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他\end{cases}$

(2) 二维正态分布： $(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho) ,(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$

$f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{{(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{{(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}$

5.随机变量的独立性和相关性

X 和 Y 的相互独立: $\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)$ :

$\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$ （离散型） $\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)$ （连续型）

X 和 Y 的相关性：
相关系数 $\rho_{{XY}} = 0$ 时，称 X 和 Y 不相关，否则称 X 和 Y 相关

6.两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： $P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

$P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}$

连续型： $\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)$
则： $F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy} , f_{z}(z) = F'_{z}(z)$

7.重要公式与结论
(1) 边缘密度公式： $f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,} f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(2) $P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}$

(3) 若 (X,Y) 服从二维Y=y正态分布 $N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$
则有：

$X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$ .
X 与 Y 相互独立 $\Leftrightarrow \rho = 0$ ，即 X 与 Y 不相关。
$C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)$
{\ X} 关于 Y=y 的条件分布为： $N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))$
Y 关于 X = x 的条件分布为： $N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))$

(4) 若 X 与 Y 独立，且分别服从 $N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2})$ ,
则： $\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0)$ ,
$C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2})$ .

(5) 若 X 与 Y 相互独立， $f\left( x \right)$ 和 $g\left( x \right)$ 为连续函数，则 $f\left( X \right)$ 和 $g(Y)$ 也相互独立。

随机变量的数字特征

1.数学期望
离散型： $P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$ ；

连续型： $X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}$

性质：
(1) $E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)$
(2) $E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$
(3) 若 X 和 Y 独立，则 $E(XY) = E(X)E(Y)$
(4) $\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})$

2.方差： $D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}$

3.标准差： $\sqrt{D(X)}$ ，

4.离散型： $D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}$

5.连续型： $D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx$

性质：
(1) $\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0$
(2) X 与 Y 相互独立，则 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$
(3) $\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)$
(4) 一般有 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$
(5) $\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)$
(6) $\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1$

6.随机变量函数的数学期望
(1) 对于函数 $Y = g(x)$
X 为离散型： $P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$ ；
X 为连续型： $X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}$

(2) $Z = g(X,Y) ; \left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{{ij}} ; E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{{ij}}}},\left( X,Y \right)\sim f(x,y) ; E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$

7.协方差
$Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack$

8.相关系数
$\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} ; k 阶中心矩 E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}$

性质：
(1) $\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$
(2) $\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$
(3) $\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$
(4) $\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1$
(5) $\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中 $a > 0$
$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$
，其中 $a < 0$

9.重要公式与结论
(1) $\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$
(2) $\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
(3) $\left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1$ , 且 $\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中 $a > 0$
$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中 $a < 0$
(4) 下面5个条件互为充要条件：
$\rho(X,Y) = 0 \Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0 \Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$
$\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$
注： X 与 Y 独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

数理统计的基本概念

1.基本概念
总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用 X 表示。
个体：组成总体的每个基本元素。
简单随机样本：来自总体 X 的 n 个相互独立且与总体同分布的随机变量 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ ，称为容量为 n 的简单随机样本，简称样本。
统计量：设 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ , 是来自总体 X 的一个样本， $g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}) ）$ 是样本的连续函数，且 g() 中不含任何未知参数，则称 $g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$ 为统计量。
样本均值： $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$
样本方差： $S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}$
样本矩：样本 k 阶原点矩： $A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots$
样本 k 阶中心矩： $B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots$

2.分布
$\chi^{2}$ 分布： $\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)$ ，其中 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$ 相互独立，且同服从 N(0,1)

t 分布： $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ ，其中 $X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n)$ , 且 X ， Y 相互独立。

F 分布： $F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$ ，其中 $X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2})$ , 且 X ， Y 相互独立。

分位数：若 $P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha$ , 则称 $x_{\alpha}$ 为 X 的 $\alpha$ 分位数

3.正态总体的常用样本分布
(1) 设 $X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$ 为来自正态总体 $N(\mu,\sigma^{2})$ 的样本，
$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}$ 则：

$\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ } 或者 \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$
$\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}$
3) $\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}$
${\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$