数学分析理论基础16：求导法则

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-01-25 10:16 被阅读38次

求导法则

导数的四则运算

定理：若函数u(x),v(x)在点 $x_0$ 可导,则函数 $f(x)=u(x)\pm v(x)$ 在 $x_0$ 也可导,且 $f'(x_0)=u'(x_0)\pm v'(x_0)$

证明：

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{[u(x_0+\Delta x)\pm v(x_0+\Delta x)]-[u(x_0)\pm v(x_0)]\over \Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)-u(x_0)\over \Delta x}\pm \lim\limits_{\Delta x\to 0}{v(x_0+\Delta x)-v(x_0)\over \Delta x}$

$=u'(x_0)\pm v'(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：若函数u(x),v(x)在点 $x_0$ 可导,则函数 $f(x)=u(x)v(x)$ 在点 $x_0$ 也可导,且 $f'(x_0)=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)$

证明：

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)v(x_0+\Delta x)-u(x_0)v(x_0)\over \Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)v(x_0+\Delta x)-u(x_0)v(x_0+\Delta x)+u(x_0)v(x_0+\Delta x)-u(x_0)v(x_0)\over \Delta x}$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{u(x_0+\Delta x)-u(x_0)\over \Delta x}v(x_0+\Delta x)+\lim\limits_{\Delta x\to 0}u(x_0){v(x_0+\Delta x)-v(x_0)\over \Delta x}$
$=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：利用数学归纳法可推广到任意有限个函数乘积

例： $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$

推论：若函数v(x)在点 $x_0$ 可导,c为常数,则 $(cv(x))'_{x=x_0}=cv'(x_0)$

定理：若函数u(x),v(x)在点 $x_0$ 可导,且 $v(x_0)\neq 0$ ,则 $f(x)={u(x)\over v(x)}$ 在点 $x_0$ 也可导,且 $f'(x_0)={u'(x_0)v(x_0)-u(x_0)v'(x_0)\over [v(x_0)]^2}$

证明：

$设f(x)=u(x)g(x),其中g(x)={1\over v(x)}$

$下证g(x)在点x_0可导$

${g(x_0+\Delta x)-g(x_0)\over \Delta x}={{1\over v(x_0+\Delta x)}-{1\over v(x_0)}\over \Delta x}$

$=-{v(x_0+\Delta x)-v(x_0)\over \Delta x}\cdot {1\over v(x_0+\Delta x)v(x_0)}$

$\because v(x)在点x_0可导$

$\therefore v(x)在点x_0连续$

$又v(x_0)\neq 0$

$\therefore ({1\over v(x)})'_{x=x_0}=g'(x_0)$

$=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)\over \Delta x}=-{v'(x_0)\over [v(x_0)]^2}$

$\therefore f'(x_0)=({u(x)\over v(x)})'_{x=x_0}$

$=u'(x_0){1\over v(x_0)}+u(x_0)(-{v'(x_0)\over [v(x_0)]^2})$

$={u'(x_0)v(x_0)-u(x_0)v'(x_0)\over [v(x_0)]^2}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

反函数的导数

定理：设 $y=f(x)$ 为 $x=\varphi(y)$ 的反函数,若 $\varphi(y)$ 在 $U(y_0)$ 上连续且严格单调,且 $\varphi(y_0)\neq 0$ ,则f(x)在点 $x_0(x_0=\varphi(y_0))$ 可导,且 $f'(x_0)={1\over \varphi'(x_0)}$

证明：

$设\Delta x=\varphi(y_0+\Delta y)-\varphi(y_0),\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

$\because \varphi 在U(y_0)内连续且严格单调$

$\therefore f=\varphi^{-1}在U(x_0)连续且严格单调$

$\therefore \Delta y=0\Leftrightarrow \Delta x=0$

$且\Delta y\to 0\Leftrightarrow \Delta x\to 0$

$由\varphi'(y_0)\neq 0$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta y\to 0}{\Delta y\over \Delta x}$

$={1\over \lim\limits_{\Delta y\to 0}{\Delta x\over \Delta y}}={1\over \varphi'(y_0)}\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：证明 $(a^x)'=a^xlna(a\gt 0,a\neq 1)$

证：

$(a^x)'={1\over (log_ay)'}$

$={y\over log_ae}=a^xlna$

例：证明 $(arcsinx)'={1\over \sqrt{1-x^2}}$

证：

$由y=arcsinx,x\in(-1,1)是x=siny,y\in (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})的反函数$

$(arcsinx)'={1\over (siny)'}$

$={1\over cosy}={1\over \sqrt{1-sin^2y}}$

$={1\over \sqrt{1-x^2}},x\in (-1,1)$

例：证明 $(arctanx)'={1\over 1+x^2}$

证：

$由y=arctanx,x\in R是x=tany,y\in (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})的反函数$

$(arctanx)'={1\over (tany)'}$
$={1\over sec^2y}={1\over 1+tan^2y}$

$={1\over 1+x^2},x\in R$

复合函数的导数

引理：f(x)在点 $x_0$ 可导 $\Leftrightarrow$ 在 $U(x_0)$ 上存在一个在点 $x_0$ 连续的函数H(x),使 $f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0)$ , $f'(x_0)=H(x_0)$

证明：

$必要性$

$设f(x)在点x_0可导$

$令H(x)=\begin{cases}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\qquad x\in U^\circ (x_0)\\ f'(x_0)\qquad x=x_0\end{cases}$

$则\lim\limits_{x\to x_0}H(x)=\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=f'(x_0)=H(x_0)$

$\therefore H(x)在点x_0连续$

$且f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0),x\in U(x_0)$

$充分性$

$\exists H(x),x\in U(x_0)在点x_0连续$

$且f(x)-f(x_0)=H(x)(x-x_0),x\in U(x_0)$

$\because \lim\limits_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}H(x)=H(x_0)$

$\therefore f(x)在点x_0可导,且f'(x_0)=H(x_0)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：引理说明点 $x_0$ 是函数 $g(x)={f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$ 可去间断点的充要条件为f(x)在点 $x_0$ 可导

定理：设 $u=\varphi(x)$ 在点 $x_0$ 可导, $y=f(u)$ 在点 $u_0=\varphi(x_0)$ 可导,则复合函数 $f\circ \varphi$ 在点 $x_0$ 可导,且 $(f\circ \varphi)'(x_0)=f'(u_0)\varphi'(x_0)=f'(\varphi(x_0))\varphi'(x_0)$