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2019-03-26

2019-03-26

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-26 15:43 被阅读0次
  • 抽象矩阵的可逆性
  • 分块对角矩阵A = diag(A_1,A_2,...,A_s)可逆的的充分必要条件是A_1,A_2,...,A_s均可逆，A^{-1} = diag(A_1^{-1},A_2^{-1},...,A_s^{-1})
  • 克拉默法则
  • 设线性方程组Ax = b中A = (a_{ij})_{n\times n} = (\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n),x = (x_1,x_2,...,x_n)^T,b = (b_1,b_2,...,b_n)^T若D = |A|\neq0,则此线性方程组有唯一的解，x_1 = \frac{D_1}{D},x_2 = \frac{D_2}{D},...,x_n= \frac{D_n}{D}
    • 其中D_j = det(\alpha_1,...,\alpha_{j-1},b,\alpha_{j+1},...,\alpha_n)
  • 设A为n阶矩阵，若|A|\neq0,则为齐次线性方程组，Ax = 0只有零解。
  • 矩阵秩的定义
  • 若矩阵A中存在r阶子式非零，但不存在r+1阶子式非零，则称A的秩为r，记为秩(A) = r,或者r(A) = r,特别地，零矩阵0的秩规定为零，即r(0) = 0
    • 注：1，0\leq r(A_{m\times n})\leq min\{m,n\}
    • r(A) = 0,A = 0
    • r(A_{n\times n}) = n,|A|\neq0,A可逆三个是等价的
  • 设A为n阶矩阵，若r(A) = n，则称A为满秩矩阵
  • 若|A| \neq 0，则称A为非奇异矩阵
  • 矩阵秩的等式
  • r(A) = r(A^T)
  • 初等变换不改变矩阵的秩
    • 若A和B是等价的r(A) = r(B)
    • 设A为m\times n矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)
  • 矩阵秩的不等式
  • 设A为s\times m矩阵，B为s\times n矩阵，则max\{r(A),r(B)\}\leq r(A,B)\leq r(A)+r(B)
  • 设A,B均为m\times n矩阵，则r(A+B)\leq r(A)+r(B)
  • 设A为s\times n矩阵，B为n\times t矩阵，则r(AB)\leq min\{r(A),r(B)\}
  • 设A为s\times n矩阵，证明r(A) = 1的充要条件是存在S维非零列向量\xi和n维非零行向量\eta,使得A = \xi \eta
  • 设A为s\times n矩阵 ，B为n\times t则r(AB)\geq r(A)+r(B)-n

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