对三种图像配准方法的说明

图像配准，英文称为image alignment。本文将分别对四种图像配准的方法进行说明，即前向累加法（forward additive）、前向合成法（forward compositional）和逆向合成法（invers compositional）。

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一、forward additive

forward additive method又称为Lucas-Kanade algorithm，它的目标是将一个模板图像T配准（align）到输入图像I上，T表示图像上的提取出来的一个小patch，它的目标函数如图1-1所示：

图1-1.forward additive目标函数
我们的目标就是找到一个warp W，使得目标函数最小。显然求解该目标函数是一个非线性最小二乘问题。（非线性最小二乘问题求解可以参考我们博文高斯牛顿法估计未知参数。）
迭代方式如图1-2所示：
图1-2.forward additive迭代方式
根据高斯牛顿法对非线性最小二乘问题的求解方法，对图1-2中公式泰勒展开线性化，再令其一阶偏导数等于0，求得Δp，如图1-3所示：
图1-3.线性求解过程
公式中的各类符号说明如图1-4所示：
图1-4.图1-3公式中的符号说明
forward additive算法流程说明如图1-5所示：
图1-5.算法详细流程

二、forward compositional

forward compositional的迭代方式图2-1所示：

图2-1.forward compositional method迭代过程

泰勒展开线性化求解过程如图2-2所示，W(x;0)相当于没有对点进行变化，因此W(W(x;0);p) = W(x;p)：

图2-2.线性化求解过程
具体的算法流程如图2-3所示：
图2-3.forward compositional算法流程

三、inverse compositional

inverse compositional方法将模板T和输入图像I的角色做了反转，迭代方式如图3-1所示：

图3-1.inverse compositional迭代方式

泰勒展开线性化求解非线性最小二乘问题如图3-2所示，注意到其中的Hessian矩阵与之前相比有所不同，用模板T的梯度代替了原来输入图像I的梯度：

图3-2.线性化求解过程
算法的整体流程如图3-3所示：
图3-3.inverse compositional算法流程图

由于inverse compositional的Hessian矩阵和待求参数无关，所以Hessian矩阵可以预先计算出来，而Hessian矩阵是整个算法中最耗时的部分，不用在每一次迭代过程都计算Hessian矩阵就大大提高了算法的效率。

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以上就是对三种图像配准方法的全部说明。