极限

作者: 君慕獨奏 | 来源:发表于2020-05-08 22:52 被阅读0次

一. 极限的定义

极限存在的充要条件：左右极限必须相等

极限不存在的两种情况：

1. 左 $\neq$ 右

2.无穷大 $∞$

二. 极限的计算(每一步都要思考，化简判断型)

1）公式

设 $\lim\nolimits_{} f(x) = A$ ， $\lim\nolimits_{} g(x) = B$ ,则有：

(1). $\lim_{} [f(x) \pm g(x) ] = \lim_{} f(x) \pm \lim_{} g(x) = A\pm B$

(2) . $\lim_{} [f(x) \ast g(x) ] = \lim_{} f(x) \ast \lim_{} g(x) = A \ast B$

(3) . $\lim_{} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{} f(x) }{\lim_{} g(x)} = \frac{A}{B}$

2）技巧

1. 有定义直接代入

2 .抓大头( $\lim_{x\to∞}$ )

在定义为无穷时若是分数有复杂运算，就取该分数的最大的数即次数最大进行计算（只适用于快速得出结果）

3）两个重要极限

1. $\lim_{□\to0} \frac{\sin □ }{□} = 1$

2. $\lim_{x\to ∞} (1 + \frac{1}{x} )^x = e 或 \lim_{x\to ∞} (1 + x )^\frac{1}{x}= e —即— \lim_{□\to0} (1 + □)^ \frac{1}{□} => 1^∞$

（1）步骤：

① 凑“1”; ② 凑 “+”; ③ 凑互为倒数关系

4)等价无穷小代换

当x->0时：也可以是□ ->0

①. $\sin x ， \tan x ， arc\sin x ， arc\tan x 等价于 x$

② . $e^x -1 , \ln ( 1+ x) 等价于 x$

③. $1 - \cos x 等价于 \frac{1}{2}x^2$

④. $\sqrt[]{1 + x} -1 等价于 \frac{1}{2} x$

注意：乘除可以用，加减不可以。

注意：当然考试的时候不会那么简单，仍然要做一个推广，只要整体形势x，是趋于零，那么都是等价的。如：

$\lim_{x\to0} \frac{\ln (1 + 2x) }{sinx} 转换为\lim_{x\to0} \frac{2x}{x}$

$\lim_{x\to0} \frac{e^x (^2)-1 }{\cos x -1}$ 转换为 $\lim_{x\to0} \frac{x^2}{-\frac{1}{2}x^2 }$ (注意：这里的（2）是 $x^2$ 因为编译格式的问题，不允许二重嵌套指数)。

5) 洛必达

洛必达法则：对于 $\frac{0}{0} 或 \frac{∞}{∞}$ 型，有 $\lim_{} \frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lim_{} \frac{f`(x)}{g`(x)}$

注意：用一步验证一步，若仍有 $\frac{0}{0} 或 \frac{∞}{∞}$ 型继续洛必达

例子： $\lim_{x\to0} \frac{x - sinx}{sin^3x}$

思路，先判断是否是符合洛必达，然后在计算，注意 $sin^3x$ 符合无穷小代换

解题： $\lim_{x\to0} \frac{x - sinx}{sin^3x} =\lim_{x\to0} \frac{x- sinx}{x^3} = (求导)\lim_{x\to0} \frac{1-cosx}{3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{\frac{1}{2}x^2}{3x^2} = \frac{1}{6}$

6) 通分合并

$∞ \pm ∞型$ ：通分合并

7）根式有理化（根号是有理的，把根号消掉）

步骤：

①乘以有理化因子： $\sqrt{A} - \sqrt{B} : \sqrt{A} + \sqrt{B}$ 或 $\sqrt{A} + \sqrt{B} : \sqrt{A} - \sqrt{B}$

②多出来的根号直接带入

8） $0 \times ∞$ 型（谁简单颠倒谁）

方法： $0 \times ∞$ 型的

原理：0 除以无穷分之一也是 $0 \times ∞$ ；无穷除以零分之一也是 $∞ \times 0$ 。则有：

$\implies$ $0$ 可以转化为： $\frac{0}{\frac{1}{∞} } = \frac{0}{0}$

$\implies$ $∞$ 可以转化为 $\frac{∞}{\frac{1}{0} } = \frac{∞}{∞}$

例子1：

$\lim_{x\to0^+ } x\ln x = \lim_{x\to0^+ }\frac{\ln x }{\frac{1}{x} } = \lim_{x\to0^+ }\frac{\frac{1}{x} }{-\frac{1}{x^2 } } = \lim_{x\to0^+ }(-x) = 0$ ；分析：可以看出例子型是 $0 \times ∞$ 型，所以可以替代其中一个，拿最简单的来替换也就是x，则有 $∞ \div 颠倒数$ $\implies 颠倒数：\frac{1}{x}$ 。

例子2： $\lim_{x\to∞} x(\frac{\pi }{2} - arc\tan x )\Rightarrow \lim_{x\to∞} \frac{\frac{\pi }{2} - arc\tan x }{\frac{1}{x} } \Rightarrow(求导) \lim_{x\to∞}\frac{ 0 - \frac{1}{1 + x^2 } }{-\frac{1}{x^2 } } \Rightarrow \lim_{x\to∞}\frac{x^2 }{1+ x^2}\Rightarrow (抓大头)\lim_{x\to∞} \frac{x^2 }{x^2} = 1$ 分析：可以看出例子型是 $0 \times ∞$ 型，所以可以替代其中一个，拿最简单的来替换也就是x。