换，还是不换？

美国有一档夺宝类的综艺节目：节目组安排三扇门，其中一扇门后面是100万美金，其它两扇门后面是一只羊，选手可以任意打开一扇门并拿走门后面的奖品。当选手选择一扇门以后，主持人会打开一扇背后是羊的门(主持人知道奖金在哪扇门背后),然后问选手“是否要换另一扇门？”。如果你是这个选手，你会选择换么？

在大多数人看来：三扇门，任意打开一扇门获得奖金的概率是1/3。打开一扇门后，任意打开一扇门获得奖金的概率是1/2，换与不换似乎没有差别。同时，人们更喜欢相信自己的直觉：反正都是瞎蒙，既然选择了第一扇门，那我更愿意相信背后是100万，所以绝大多数人选择不换。

如果是100扇门呢？

在揭晓答应之前，我们再来考虑一下情况：假如给你选择的不是3扇门，而是100扇门。主持人打开一扇没有奖金的门后，你会换么？打开了两扇呢？...打开了98扇呢？

似乎情况有些不一样了。当主持人打开了98扇门后，剩下的没有开的门，和你选择的那扇门相比，好像有更大概率背后是奖金。而且这个概率是99/100，原大于你那扇门的1/100。

情况真的是这样的吗？

让我们用科学的方式来演算一下：假设一共有N扇门，当你任意选择一扇门之后，将剩余的N-1扇门归为一组(我们称之为"落选组"。那么，你选择的门“正确”的概率是1/N, 落选组的概率是N-1/N, 这个很容易理解，因为这一组门多，自然概率大。当主持人打开一扇"错误"的门后，落选组剩余的每扇门的正确的概率变高了！

首先，主持人打开一扇门后落选组的整体正确率是不变的，还是N-1/N。但是，此时落选组只剩下N-2扇门，所以每扇门正确的概率就成了 N-1/N(N-2)，是大于1/N的。依次类推，当主持人打开x扇门后，剩下的每扇门正确的概率是N-1/N(N-x-1)。我们将上面的数据代入: N=100, x=98时，概率正是99/100。

听上去似乎对，但还是有点难以接受

上面的推演找不出任何问题，但还是感觉哪里不对。为什么打开一扇门后，剩余组每一扇门正确的概率就比选择的门高了呢？不管打开多少扇门，奖金都可能存在于任意一扇没有打开的门后面，而且概率应该是相等的。

回到一开始的综艺节目的例子，如果在主持人打开一扇门后，另一位选手出现，他不知道前面发生的故事，摆在他面前的是两扇关着的门和一扇开着的门，他任意选择一扇门带走奖金的概率是多少？1/2! 好像跟我们上面的结论冲突了。别着急，让我们继续分析。

到底哪里出了问题？

这里面一共有三个问题：1.为何主持人打开一扇门后剩余的门正确的概率变大了？2.如何解释第二位选手的情况？3. 为什么我们会难以理解？

第一个问题的原因在于主持人！因为主持人知道正确答案，他在挑选一个错误项时，选择范围是所有落选组的选项，而不是全部选项！所以他排除错误答案时只是“排除落选组中的错误答案”，所以让落选组中其余的备选答案概率增加了，而不影响选手选择项目的概率。虽然看上去这个错误选项是全局的错误选项，这正是迷惑人的地方。假如主持人不知道正确的选项，而随机挑一扇门排除(不公布答案)，这时每个选项(包括选手选择的选项)的正确概率才是相等的，有兴趣的同学可以自行推演下。

第二个问题在于混淆了两次独立选择的期望值。第二个选手任意打开一扇门并带走奖金的概率确实是1/2，前提是他不知道前面发生的故事，他选择任意一扇门的概率是1/2, 但选手一选择的门中奖的概率是1/3，落选的门中奖概率是2/3，所以综合的是期望是1/21/3+1/22/3 = 1/2。选手二的选择和选手一的选择是两个独立事件。因为他不知道前面发生的故事，如果他目睹了前面的过程，应该毫不犹豫地选择落选的门。

第三个问题源于人类的直觉在做怪。人门直觉上认为剩余两扇门，奖金要么在第一扇门后，要么在第二扇门后，都是未知的，概率是相当的。加上上述第二个问题中讲到的二次选择的混淆，所以大多数人难以理解在主持人排除一个错误答案后发生的概率变化。